所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
4 不等式的证明 第3课时 几何法、反证法
1．了解几何法的证明过程，并会用几何法证明简单的不等式． 2．掌握反证法，并会用反证法证明不等式．
1．几何法
通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______． 【做一做1】已知x，y，z∈(0,1)．求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1． 2．反证法
反证法证不等式是：先假设所要证的不等式不成立，也就是说不等式的反面成立，以此为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出矛盾的结果，从而断定假设错误，因而确定要证的不等式成立．
它的步骤是：(1)作出否定____的假设；(2)进行推理，导出____；(3)否定假设，肯定____．
11
【做一做2】如果a＞b＞0，证明2＜2．
ab答案： 1．几何法
【做一做1】分析：构造一个边长为1的正三角形，利用三角形的面积关系来证明．
证明：如图，构造正三角形ABC，设其边长为1，BD＝x，AF＝y，CE＝z，则根据面积关系S△ABC＞S△BDF＋S△DCE＋S△AEF，得1·1·sin 60°＞x(1－y)sin 60°＋y(1－z)sin 60°＋z(1－x)sin 60°．
整理，得x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1． 即得证．
2．(1)结论 (2)矛盾 (3)结论
11
【做一做2】分析：先假设2≥2成立，从假设出发，推出矛盾．
b22
1111b－a证明：假设2≥2，则2－2＝22≥0．
ababab2222
∵a＞b＞0，∴ab＞0，b－a＝(b＋a)(b－a)≥0． ∵a＞b＞0，∴b＋a＞0， ∴b－a≥0，即b≥a． 这与已知a＞b矛盾．
11
∴假设不成立，即2＜2成立．
aab1．反证法中的数学语言
剖析：反证法适宜证明“存在性问题”，“唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设． 常见 至少有 至多有 唯一 不是 全 都是 词语 一个 一个 一个 否定 一个也 有两个或 没有或有 是 不全 不都是 假设 没有 两个以上 两个以上 对数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．
2．用反证法证明不等式
剖析：(1)用反证法证明，就是从结论的反面出发，要求结论反面的情况只有有限多种，然后证明这种反面的结论都是不可能的，是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的．
(2)要证不等式M＞N，先假设M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定M＞N成立．凡涉及的证明不等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑使用反证法．
(3)用反证法证明不等式要把握三点：
①必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
②反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
③推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等等，但推导出的矛盾必须是明显的．
题型一 用几何法证明不等式
222222
【例1】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a－ab＋b＋b－bc＋c≥a＋ac＋c，当111
且仅当＝＋时取等号．
bac分析：从三个根式的结构特点，容易联想到余弦定理，于是可构造图形，利用余弦定理来证明．
反思：利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形，先要研究所证不等式两边的结构特点，再把其中的字母当作图形的边长，最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不等式．
题型二 用反证法证明不等式
1＋b1＋a【例2】已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2．求证：，中至少有一个小于2．
ab分析：由于题目的结论比较复杂，讨论起来比较繁琐，宜采用反证法．
反思：从“正难则反”的角度考虑，即要证明不等式A＞B，先假设A≤B．由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定A＞B．凡涉及到证明不等式为否定命题，唯一性命题式含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．
答案： 【例1】证明：如图，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB＝∠BOC＝60°，则∠AOC＝120°，2222
AB＝a－ab＋b，BC＝b－bc＋c，AC＝a2＋ac＋c2．
由几何知识知，AB＋BC≥AC，
222222
∴a－ab＋b＋b－bc＋c≥a＋ac＋c，
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
当且仅当A，B，C三点共线时等号成立．
111
此时有absin 60°＋bcsin 60°＝acsin 120°，
222即ab＋bc＝ac．
111
故当且仅当＝＋时，取得等号．
bac1＋b1＋a【例2】证明：假设，都不小于2，
ab即
1＋b1＋a≥2，≥2．
ab∵a＞0，b＞0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b． 两式相加，得1＋b＋1＋a≥2(a＋b)． 即a＋b≤2，这与已知a＋b＞2矛盾． 故假设不成立．
1＋b1＋a因此，，中至少有一个小于2．
ab 2
1若二次函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是( )．
3?1????12?A．?－3，? B．?－2，? C．(－1,0) D．?－，? 2?5????23?
2若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则( )．
ππππ
A．∠B＝ B．∠B＜ C．∠B＞ D．∠B＝
2223
3设a，b∈R，给出下列条件：
22
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a＋b＞2；⑤ab＞1．
其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件是__________．
2
4已知a，b，c＞0，a＋b＞c．求证：
＋＞． a＋1b＋1c＋1
abc答案：
1．A 如果在[－1,1]内没有满足f(c)＞0的数c，
?f?则???f－1≤0，1≤0，
??
解得?3
p≤－3或p≥.??2
p≤－或p≥1，
1
2
∴此时p?3??p|－3 2?? ?3? |?的取值范围是pp≤－3或p≥?，取补集即得所求实数 2?? p的范围，即 π 2．B 假设∠B≥，则b最大，有b＞a，b＞c， 2 1111∴＞，＞． abcbacb112112 ∴＋＞，与题意中的＋＝矛盾． acbπ ∴∠B＜． 2 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 3 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 3．③ 对于①，a，b均可小于1；对于②，a，b均可等于1；对于④⑤，a，b均可为负数；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a，b中至少有一个实数大于1”成立． abc11111 4．证明：假设＋≤，则1－＋1－≤1－，即1＋≤a＋1b＋1c＋1a＋1b＋1c＋1c＋1a＋1 ＋1b＋1 ， ∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)， 即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)(a＋b＋2)， ∴2ab＋abc＋a＋b≤c．① 又∵a＋b＞c，a，b，c＞0， ∴a＋b＋2ab＋abc＞c，与①矛盾． ∴假设不成立． ∴ a＋b＞ca＋1b＋1c＋1 成立． 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 4
(新)高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第3课时学案北师大版选修4-51
