规范答题示范——等差数列与等比数列解答题
【典例】 (12分)(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*). [信息提取]
?看到求等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比；
?看到求数列{a2nbn}的前n项和，想到利用错位相减法求数列的前n项和. [规范解答]
[高考状元满分心得]
?牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式. ?注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前n项和. [解题程序]
第一步：利用基本量法求{bn}的通项；
第二步：由b3＝a4－2a1，S11＝11b4构建关于a1与d方程(组)，求an； 第三步：由第(1)问结论，表示出{a2nbn}的通项； 第四步：利用错位相减法求数列前n项和Tn. 第五步：反思检验，规范解题步骤.
【巩固提升】 (2018·德州二模)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
?Sn?
(1)证明：数列?n＋1?为等比数列；
?
?
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn. (1)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)， Sn－1Sn
即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则n＝2×＋1，
n－1?Sn－1?SnS1
＋1??，又＋1＝2， 所以n＋1＝2×
1?n－1?
?Sn?
故数列?n＋1?是首项为2，公比为2的等比数列.
?
?
Sn?S1?n－1
(2)解 由(1)知n＋1＝?1＋1?·2＝2n，
??所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n). 设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， 则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以M＝(n－1)·2n＋1＋2， 所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－
n（n＋1）
. 2
2020年高考数学专题二 规范答题示范
