矩阵的定义及其运算规则
1、矩阵的定义
一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全体,在括号()内排列成m行n 列(横的称行,纵的称列)的一个数表,并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为:
,或
。即:
我们称(2-3)式中的
(2-3)
为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母
,表
示矩阵的行数,第二个注脚字母j(j=1,2,…,n)表示矩阵的列数。
当m=n时,则称
为n阶方阵,并用
表示。当矩阵(aij)的元素仅有一
行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵,有相同的行数和相同的列数,而且它们的对应元素一一相等,即
,则称该两矩阵相等,记为A=B。
2、三角形矩阵
由i=j的元素组成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而另外一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都是三角形矩阵:
,
3、单位矩阵与零矩阵
在方阵
中,如果只有
,, 。
的元素不等于零,而其他元素全为零,如:
则称为对角矩阵,可记为
。如果在对角矩阵中所有的
彼此
都相等且均为1,如: ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即:
当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。
4、矩阵的加法
矩阵A=(aij)m×n和B=(bij)m×n相加时,必须要有相同的行数和列数。如以C=(cij)m ×n表示矩阵A及B的和,则有:
式中:
。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
由上述定义可知,矩阵的加法具有下列性质(设A、B、C都是m×n矩阵): (1)交换律:A+B=B+A
(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)
5、数与矩阵的乘法
我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵乘上k之后所得的矩阵。如:
中的所有元素都
由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都是m×n矩阵,k、h为任意常数,则:
(1) k(A+B)=kA+kB (2)(k+h)A=kA+hA (3) k(hA)=khA
6、矩阵的乘法
若矩阵素若:
则矩阵
的元素由定义知其计算公式为: 乘矩阵
,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵
的元
的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。
(2-4)
【例2-1】 设有两矩阵为:, ,试求该两矩
阵的积。
【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其结果设为C:
其中:
【例2-2】 已知:A=【解】计算结果如下:
,B=,求A、B两个矩阵的积。
矩阵的乘法具有下列性质:
(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。 (2)矩阵的乘法是可结合的。 (3)设A是m×n矩阵, B、C是两个n×t矩阵,则有:A(B+C)=AB+AC。 (4)设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵。则对任意常数k有:k(AB)=(kA)B=A(kB)。
【例2-3】 用矩阵表示的某一组方程为:
(2-5)
式中:
试将矩阵公式展开,列出方程组。
【解】现将(2-6)式代入(2-5)式得:
(2-6)
(2-7)
将上式右边计算整理得:
(2-8)
可得方程组:
可见,上述方程组可以写成(2-5)式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知(2-5)式即为误差方程组的矩阵表达式。式中方程组的系数阵,
称为未知数阵,
称为改正数阵,
称为误差
称为误差方程组的常数项阵。
【例2-4】 设由n个观测值列出r个条件式如下,试用矩阵表示。
【解】现记:
(2-9)
则条件方程组可用矩阵表示成:
(2-10)
上式中列阵。
称为条件方程组的系数阵,称为改正数阵,称为条件方程组的闭合差
矩阵的定义及其运算规则
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)