(人教版)高中数学选修1-1(检测)：3.4 生活中的优化问题举例 课后提升作业 二十五 3.4

课后提升作业 二十五

生活中的优化问题举例 (45分钟 70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )

A.8m3 B.12m3 C.16m3 D.24m3 【解析】选A.设长方体的底面边长为xm, 则高为(6-2x)m,

所以0

令V′=0得x=2或x=0(舍), 所以当x∈(0,2)时,V是增函数, 当x∈(2,3)时,V是减函数, 所以当x=2时,Vmax=4×2=8(m3).

2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为 ( ) A.16 m,16 m B.32 m,16 m C.32 m,8 m D.16 m,8 m 【解析】选B.如图所示,

设场地一边长为xm,则另一边长为

m.因此新墙总长度

L=2x+L′=2-

(x>0),

.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).

因为L在(0,+∞)上只有一个极值点, 所以它必是最小值点.因为x=16,所以

=32.

故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省. 【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:

1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,

2.再用导数求最值.

3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值 为 ( )

A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.048 6 【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x∈(0,0.0486).

所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0

令y′=0,得x=0.0324或x=0(舍去). 当00; 当0.0324

所以当x=0.0324时,y取得最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.

4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应 为 ( ) A.

cm B.100cm

cm

cm,

C.20cm D.

【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x =

(cm3),V′=

或x=

, (舍去),

令V′=0,得x=经判断可得x=

(cm)时,V最大.

5.(2016·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为 ( ) A.

B.

C.

D.2

【解析】选C.如图,

设底面边长为x(x>0),则底面积S=

x2,

所以h==S表=x·S′表=

x-

. ×3+

x2×2=

+

x2, ,

,令S′表=0得x=

因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.

6.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为 ( )

A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r, 则r==

,圆柱体积V=π

·x

(x3-12x2+36x)(0

V′=

当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高= 4∶2=2∶1.

7.三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为 ( )

A.4 B.8 C. D. 【解析】选C.V=×V′=

·y=

=

=

(0

=2x-x2=x(2-x).

令V′=0,得x=2或x=0(舍去),

所以x=2时,V最大为.

8.(2015·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=

则当总利润最大时,每年生产产品的单位

数 是 ( )

A.150 B.200 C.250 D.300 【解析】选D.因为总利润

p(x)=

当0≤x≤390时,p′(x)=-令p′(x)=0,得x=±300,

当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增, 当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减, 所以当x=300时,p(x)有最大值40000元, 当

x>390

时

x2+300,

,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×

390-20000=31090<40000, 所以当x=300时,总利润最大.

【补偿训练】某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)=1200+

x3(万元),

已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100万件这样的产品单