2020届中考数学一轮复习讲义
考点十五：二次函数
聚焦考点☆温习理解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。
2y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x??3、二次函数图像的画法 五点法：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) (2)顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)
(3)当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x??222222b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2ab时，2a
y最值4ac?b2。 ?4ab是否在自变量取值范围x1?x?x2内，2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?4ac?b2b若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围
4a2a2内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，
y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax12?bx1?c，当
2x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。
四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
2a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上, a<0时，抛物线开口向下 b与对称轴有关：对称轴为x=?b 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b2?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当?>0时，图像与x轴有两个交点；当?=0时，图像与x轴有一个交点；当?<0时，图像与x轴没有交点。
名师点睛☆典例分类 考点典例一、二次函数的图象
【例1】2019?贵州省安顺市?3分)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论： ①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0． 其中正确的个数是( )
A．4个
【举一反三】
1. 【山东省德州市2018年中考】如图,函数标系的图象可能是( )
和
(是常数,且
)在同一平面直角坐
B．3个
C．2个
D．1个
A.
B. C. D.
?x?1??x?3? ，则使2. (福建省三明市大田县2017-2018学年九年级上期末模拟数学试卷)已知函数y?{2?x?5?(x?3)y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2考点典例二、二次函数的解析式
2【例2】(2019?威海)在画二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x y甲 … … -1 6 0 3 1 2 2 3 3 6 … … 乙写错了常数项，列表如下：
x … -1 0 1 2 3 …
y乙 … -2 -1 2 7 14 … 通过上述信息，解决以下问题：
2(1)求原二次函数y?ax?bx?c?a?0?的表达式；
2(2)对于二次函数y?ax?bx?c?a?0?，当x__________时，y的值随x的值增大而增大；
(3)若关于x的方程ax?bx?c?k?a?0?有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
2
【举一反三】
1. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，﹣2)．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( )
[来源学科网ZXXK]
A．y=x2﹣x﹣2
2.(山东省临沂市五校2017-2018学年九年级联考)对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是( )
A. y=﹣2x2+8x+3 B. y=﹣2x-2﹣8x+3 C. y=﹣2x2+8x﹣5 D. y=﹣2x-2﹣8x+2
B．y=x2﹣x+2
C．y=x2+x﹣2
D．y=x2+x+2
考点典例三、二次函数的最值
【例3】(2019江苏镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．
【举一反三】
【经典题】当－2≤x≤l时，二次函数y???x?m??m2?1有最大值4，则实数m的值为【 】
2
(A) ? (B)
7473或?3 (c)2或?3 (D)2或3或?
4考点典例四、二次函数的图象与性质
【例4】(2019?广西贺州?3分)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是 ①③④ (填写序号)．
【举一反三】
21. (2019?湖州)已知a,b是非零实数，a?b，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1?ax＋bx与一次函
数y2?ax＋b的大致图象不可能是
A． B．C． D．
2. 【天津市2018年中考】已知抛物线轴在轴右侧，有下列结论： ①抛物线经过点②方程
；
有两个不相等的实数根；
(，，为常数，
)经过点
，
，其对称
中考数学一轮复习资料第15讲 二次函数（原卷版）
