《高等数学》教学大纲
课程名称：高等数学 Advanced Mathematics 课程性质：通识课 公共必修课 学 分：11
总 学 时：170学时 理论学时：170学时 适用专业：本（工）科各专业 先修课程： 教学目的与要求：
高等数学是高等院校本科学生数学教育都应达到的合格要求，也是选学工科各专业学生的基本要求，因此该课程不仅是高等院校本科数学教育的一门通识课程，也是工科本科各专业的一门重要基础理论课程与核心课程，它的教学目的与要求是：
1. 使学生获得高等数学的基本概念、基本理论与基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础；
2. 使学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力；具有较强的自学能力；
3. 使学生学习体会研究问题解决问题的一般科学方法，培养学生用数学方法解决实际问题的意识、兴趣和能力。
教学内容与学时分配
序号 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 合计学时数 章目名称 函数与极限 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 定积分的应用 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数微分法及其应用 重积分 曲线积分与曲面积分 无穷级数 学时分配 20学时 10学时 12学时 12学时 12学时 12学时 15学时 12学时 18学时 12学时 18学时 17学时 170 1
各章节主要知识点与教学要求
第一章 函数与极限（20学时）
第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大， 第五节 极限运算法则
第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质
本章重点：函数与复合函数的概念，初等函数，实际问题中的函数关系；极限概念与极限运算法则；无穷小与无穷小的比较；两个重要极限；函数连续的概念与初等函数的连续性；间断点的分类；闭区间上连续函数的性质。
本章难点：复合函数的复合过程；极限定义的理解；两个重要极限的灵活运用；极限存在的两个准则的应用；闭区间上连续函数性质的应用。 教学要求：
（1）掌握函数的概念、表示方法与性质，并会建立简单应用问题中的函数关系式； （2）掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握复合函数的复合过程；
（3）了解函数极限的概念，会用极限定义证明一些极简单的极限，理解和掌握极限的运算性质；
(4) 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系; (5) 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限； （6）掌握利用两个重要极限求极限的方法；
（7）掌握无穷小的有关理论，会用等价无穷小求极限； （8）掌握函数连续的定义，会判别函数间断点的类型；
（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，会用闭区间上连续函数的性质解决一些简单的有关问题。
（10）略讲内容：极限存在的两个准则的证明。
第二章 导数与微分(10学时) 第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
本章重点：导数与微分的定义，导数运算法则；微分的概念与求法；高阶导数。
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本章难点：微分的概念与微分法；复合函数的求导法则；分段函数导数的求法。 教学要求：
（1） 理解导数和微分的概念以及导数与微分的关系；理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量； （2）理解函数的可导性与连续性之间的关系；会用定义求函数在某一点的导数； （3）掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； （4）会求分段函数的导数；
（5）会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数； （6）会坚决一些简单的相关变化率实际问题； （7）会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用； （8）了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 （9）略讲内容：
① 高阶导数中的莱布尼兹公式；
② 微分应用中的四个概念（误差、相对误差、相对误差限、绝对误差限）。
第三章 微分中值定理与导数的应用（12学时） 第一节 微分中值定理 第二节 罗必达法则 第三节 泰勒公式
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 第八节 方程的近似解
本章重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式；罗必达法则；函数的单调性的判别方法；函数极值的求法，最大值和最小值的应用；函数图形的描绘。 本章难点：泰勒公式；洛必达法则；最大值、最小值的应用问题。 教学要求：
（1）掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；理解泰勒公式，知道泰勒公式的一些简单应用；。
（2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；
（3）理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
（4）会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点； （5）会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形； （6）理解弧微分；知道曲率和曲率半径的概念。 （7）略讲内容：
① 曲率半径、曲率中心与曲率圆的计算；
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② 方程的近似解。
第四章 不定积分（12学时） 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分 第五节 积分表的使用
本章重点：原函数与不定积分的概念；不定积分的性质；换元法与分部积分法；有理函数的积分。
本章难点：不定积分各种方法的综合使用；换元积分法中变量代换的选择。 教学要求：
（1）理解原函数和不定积分的概念；
（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质； （3）掌握不定积分的换元法与分部积分法；
（4）会求简单的有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分； （5）了解积分表的使用方法。
第五章 定积分（12学时） 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分学基本公式
第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分
本章重点：定积分的概念及性质；牛顿—莱布尼茨公式。
本章难点：定积分的概念；积分上限函数的导数；反常积分的计算。 教学要求：
（1）理解定积分的概念与几何意义； （2）掌握定积分的性质；
（3）掌握积分上限函数及其求导方法； （4）掌握牛顿—莱布尼茨公式；
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并会利用换元公式证明一些简单命题； （6）了解反常积分的概念并会计算简单的反常积分。 （7）略讲内容：
① 定积分的近似计算； ② 定积分的递推公式。
第六章 定积分的应用（12学时） 第一节 定积分的元素法
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第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用 本章重点：定积分的元素法。 本章难点：元素法的实际应用方法。 教学要求：
（1）理解和掌握定积分的元素法；
（2）能利用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等）和一些物理量（变力做功、引力、压力等）。
（3）略讲内容：函数的平均值及其应用。
第七章 微分方程（15学时） 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第六节 高阶线性微分方程 第七节 常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性微分方程 第九节 欧拉方程
第十节 微分方程的幂级数解法
本章重点：微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程及一阶线性方程的解法；可降阶的高阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
本章难点：线性微分方程解的性质与结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 教学要求：
（1）掌握微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念； （2）掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法； （3）会用降阶法解某些简单的高阶微分方程； （4）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 （5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
（6）会求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解； （7）知道微分方程的幂级数解法。 （8）略讲内容：
①贝努里方程；
② 微分方程的幂级数解法。
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《高等数学I》教学大纲
