第4讲 随机事件的概率
1.事件的分类
必然 确定事件 事件 不可能 事件 随机事件 在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2.概率与频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.事件的关系与运算
nAn 包含 关系 相等 关系 并事件 (和事件) 定义 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A且A?B,那么称事件A与事件B相等 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 符号表示 B?A (或A?B) A=B A∪B (或A+B) 交事件 (积事件) 互斥 事件 对立 事件 A∩B (或AB) A∩B=? A∩B=? 且A∪B=Ω 1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(A)=1. (3)不可能事件的概率:P(A)=0. (4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.
P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.( ) (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( )
(6)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× [教材衍化]
1.(必修3P121练习T4改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶
B.两次都中靶 D.两次都不中靶
解析:选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.
2.(教材习题改编) 若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)________1(填“>”“<”“≥”“≤”).
答案:≤ [易错纠偏]
(1)确定互斥事件、对立事件出错; (2)基本事件计数错误.
11
甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为
23________.
2
115
解析:由题意得,甲不输的概率为+=.
2365答案:
6
事件类型的判断及随机试验结果
(1)给出关系满足AB的非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件; ②若任取x?A,则x∈B是不可能事件; ③若任取x∈B,则x∈A是随机事件; ④若任取x?B,则x?A是必然事件.
其中不正确的是____________(把所有不正确命题的序号都填上).
(2)在下列随机试验中,一次试验各指什么?它们各有几次试验?试验的可能结果有哪几种?
①观察从北京站开往合肥站的3趟列车中正点到达的列车数; ②某人射击两次,观察中靶的次数. 【解】 (1)因为A所以①③④正确.
②中,若x?A,则有x∈B,x?B两种可能情况,因此②若任取x?A,则x∈B是随机事件.故填②.
(2)①每列列车运行一趟,就是1次试验,共有3次试验.试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”,共4种.
②射击一次,就是1次试验,共有2次试验.试验的结果有“两次中靶”“一次中靶”“两次都未中靶”,共3种.
(1)判断事件类型的思路
判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件,首先一定要看条件,其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件),还是一定不发生(不可能事件).
(2)随机试验结果的判定
在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.准确写出满足某种特殊条件的试验结果是正确求解概率的基础.
3
B,所以A中的元素都在B中,但是B中有些元素不在集合A中,
1.指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件: (1)函数f(x)=x-2x+1的图象关于直线x=1对称; (2)y=kx+6是定义在R上的增函数; (3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.
解:必然事件有(1);随机事件有(2)(3).对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0;另外一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.
2.做掷红、蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,
2
y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)写出这个试验的所有可能的结果; (2)求这个试验共有多少种不同的结果; (3)写出事件“出现的点数之和大于8”; (4)写出事件“出现的点数相同”. 解:(1)这个试验的所有可能的结果为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(2)由(1)知这个试验的结果共有36种.
(3)事件“出现的点数之和大于8”为(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(4)事件“出现的点数相同”为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).
随机事件的频率与概率
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶
6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 天数 [10,15) 2 [15,20) 16 [20,25) 36 [25,30) 25 [30,35) 7 [35,40) 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
4
【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格2+16+36
数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300
90瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
36+25+7+4
=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
90
1.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:
满意情况 人数 不满意 200 比较满意 满意 2 100 非常满意 1 000 n 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A.C.
7
1511 15
2B. 5D.13 15
解析:选C.由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由古典概型概率公式可得对网上购物“比3 30011较满意”或“满意”的概率为=.
4 50015
5
(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率4第4讲随机事件的概率教学案
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