第4讲 随机事件的概率
1．事件的分类
必然 确定事件 事件 不可能 事件 随机事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2.概率与频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
3．事件的关系与运算
nAn 包含 关系 相等 关系 并事件 (和事件) 定义 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 符号表示 B?A (或A?B) A＝B A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 互斥 事件 对立 事件 A∩B (或AB) A∩B＝? A∩B＝? 且A∪B＝Ω 1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率：P(A)＝1． (3)不可能事件的概率：P(A)＝0． (4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．
P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( ) (5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( )
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× [教材衍化]
1．(必修3P121练习T4改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶
B．两次都中靶 D．两次都不中靶
解析：选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
2．(教材习题改编) 若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)________1(填“＞”“＜”“≥”“≤”)．
答案：≤ [易错纠偏]
(1)确定互斥事件、对立事件出错； (2)基本事件计数错误．
11
甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
23________．
2
115
解析：由题意得，甲不输的概率为＋＝.
2365答案：
6
事件类型的判断及随机试验结果
(1)给出关系满足AB的非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件； ②若任取x?A，则x∈B是不可能事件； ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件； ④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中不正确的是____________(把所有不正确命题的序号都填上)．
(2)在下列随机试验中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？
①观察从北京站开往合肥站的3趟列车中正点到达的列车数； ②某人射击两次，观察中靶的次数． 【解】 (1)因为A所以①③④正确．
②中，若x?A，则有x∈B，x?B两种可能情况，因此②若任取x?A，则x∈B是随机事件．故填②.
(2)①每列列车运行一趟，就是1次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种．
②射击一次，就是1次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“一次中靶”“两次都未中靶”，共3种．
(1)判断事件类型的思路
判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
(2)随机试验结果的判定
在写试验结果时，要按照一定的顺序采用列举法写出，注意不能重复也不能遗漏．准确写出满足某种特殊条件的试验结果是正确求解概率的基础．
3
B，所以A中的元素都在B中，但是B中有些元素不在集合A中，
1．指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件： (1)函数f(x)＝x－2x＋1的图象关于直线x＝1对称； (2)y＝kx＋6是定义在R上的增函数； (3)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号．
解：必然事件有(1)；随机事件有(2)(3)．对于(3)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0；另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
2．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，
2
y表示蓝色骰子出现的点数．
(1)写出这个试验的所有可能的结果； (2)求这个试验共有多少种不同的结果； (3)写出事件“出现的点数之和大于8”； (4)写出事件“出现的点数相同”． 解：(1)这个试验的所有可能的结果为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
(2)由(1)知这个试验的结果共有36种．
(3)事件“出现的点数之和大于8”为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
(4)事件“出现的点数相同”为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．
随机事件的频率与概率
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 [10，15) 2 [15，20) 16 [20，25) 36 [25，30) 25 [30，35) 7 [35，40) 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
4
【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格2＋16＋36
数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300
90瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
36＋25＋7＋4
＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
90
1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：
满意情况 人数 不满意 200 比较满意 满意 2 100 非常满意 1 000 n 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A.C.
7
1511 15
2B. 5D.13 15
解析：选C.由题意，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比3 30011较满意”或“满意”的概率为＝.
4 50015
5
(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率4第4讲随机事件的概率教学案
