复 数
1．复数的概念： （1）虚数单位i；
（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集
???整 数有 理 数???实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环??虚 数(b?0)?纯 虚 数(a?0)???非 纯 虚 数(a?0) ?3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；
（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；
z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222（4）除法：； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：
n① i(n为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i；
31③ 若ω=-2+2i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.
5．共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi，则z?a?bi，z?z为实数，z?z为纯虚数(b≠0).
22a?b（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且z?z?|z|=a2+b2.
6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为
?a?c?a?0???b?d??b?0. ?a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=
2
－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a－bi)= a2+b2
6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i??c?di(c?di)(c?di)c2?d2. 7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 （二）典型例题讲解 1．复数的概念
例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？
解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，
∴ （1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数；
?m?1?0?（3）当?m?1?0时，即m=－1时，z是纯虚数；
?m?1?0?（4）当?m?1?0时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。
例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.
?2x?1?y5?解：根据复数相等的意义，得方程组?1??(3?y)，得x=2, y=4.
2m2?3m?22例4．当m为何实数时，复数z＝m?25+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；
（3）是纯虚数．
解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．
?m2?3m?10?0?m2?25?0? （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，
解得m=2，∴ m=2时，z为实数。
?m2?3m?10?0?m2?25?0?（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，
?2m2?3m?2?0?2?m?3m?10?0?2m?25?0， ?解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．
11解得m=－2, ∴当m=－2时，z为纯虚数．
诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．
例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in的周期性．
i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005
=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i＝i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．
例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小， ?m2?10?|m|?10?2??m?3m?0?m?0或m?3?2?m?3或m?1m?4m?3?0?∴，解得?，∴ m=3. 当m＝3时，原不等式成立．
诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，求z． 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．
?2x?y?8?0?x?y?3??logx?1?logy2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i2∵ ，∴?2，∴?xy?2，
?x?2?x?1??y?1解得?或?y?2, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）
例10．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．
解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x＝ti (t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为 2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i， ?2t?1??(3?y)55??1?y∴?, ∴y=－1, t=－2, ∴ x=－2i.
2．复数的四则运算 例1．计算：
(1?i)2n2(n?1)(1?i)（1），n∈N+；
33?i6?3?i61()?()22（2）若ω=－2+2i，ω3=1，计算；
(3?2i)(5?2i)(5?3i)2(2?3i)(2?5i)（3）； （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.
(1?i)2n(1?i)2n2in2n?1[]?(1?i)?()?(?2i)?(?1)?2i2(n?1)2?2i解：（1）(1?i)=(1?i)
?2in?2k?1,k?N???2in?2k,k?N?? =.
（2）
=－2.
3?2i5?2i?i?i（3）由于2?3i, 2?5i,
(3?2i)(5?2i)(5?3i)2(2?3i)(2?5i)(3?i6?3?i6?1?3i6?1?3i66)?()(?i?)?(?i?)?i?[?6?(?2)6]2222=
∴ =8. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99
=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i) =25(－2－2i)=－50－50i.
4例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+z∈R，求z. 解：设z=x+yi, x, y∈R，则
4z4(x?yi)4x4y4?x?yi?2?x??(y?)i22222x?yx?yx?y， z+z=z+zz4y4y?22x?yz∵ z+∈R，∴ =0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,
联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，
??x?1??y??3, z=1±3, 当y≠0时, ?∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i，z3=1－3i.
222|i?i?(5?3i)|?|(5?3i)|?(5?3)=
1例3．设z为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.
证明：设z=a+bi (a, b∈R，b≠0)，于是 11a?biab?a?bi?2?(a?)?(b?)i22222a?ba?ba?b, z+z=(a+bi)+a?bi1b22所以b≠0, (z+z)∈R?b－a?b=0?a2+b2=1?|z|=1.
z?1例4．复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2，且z?1为纯虚数，求z. 解：设z=x+yi (x, y∈R)，则
1(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2，∴ z+z+1=0，z+z=－1，x=－2.
222z?1(z?1)(z?1)?|z|?z?z?1x?y?x?yi?x?yi?12|z?1|2|z?1|z?1=(z?1)(z?1)=为纯虚数，
33311∴ x2+y2－1=0, y=±2, ∴ z=－2+2i或z=－2－2i.
例5．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)z=4－34i，求z.
解：设z=x+yi (x, y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi) =4－34i， 整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.
?4x?12y?4?x?4??8x?2y?34∴ ?, 解得?y?1, ∴ z=4+i.
1例6．设z是虚数，ω=z+z是实数，且－1<ω<2，
1?z（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1?z，求证u为 纯虚数；
（3）求ω－u2的最小值。
解：（1）设z=a+bi (a, b∈R, b≠0)，则
ab(a?2)?(b?)i222a?ba?bω=，由于ω是实数且b≠0，∴ a2+b2=1，
1即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z的实部a的的取值范围是(－2, 1).
221?z1?a?bi?1?a?b?2bi??2bi1(1?a)2?b2a?1，由于a∈(－2, 1), b≠0， （2）u=1?z=1?a?bi∴ u是纯虚数。
b21?a2a?12?2a??2a??2a?1?22(1?a)(1?a)a?1a?1 （3）ω－u2=2a+
12[(a?1)?]?3a?1 =,
1由于a∈(－2, 1)，∴ a+1>0，则ω－u2≥2×2－3=1，
1当a+1=a?1, 即a=0时，上式取等号，所以ω－u2的最小值为1.
i?z例7．证明：i?z＝1．
解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等． 设z＝a＋bi，(a, b∈R)，则
22a?(1?b)i?a?bia?(1?b)ii?z???122i?a?bi?a?(1?b)ia?(1?b) i?z=.
?(i?z)i?z?i?z??1i?z 解2：∵ i?z?i?z??i?z，∴ i?z=i?z.
高考复数知识点精华总结
