海量资源，欢迎共阅 所有的素数。
欧拉利用这一恒等式证明了：素数的个数是无穷的。这个恒等式是解析数论的开端。
1743年，欧拉发现了二次互反律，从而开启了数论的一个新领域----代数数论。 5．代数学的发展与几何学的变革 从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪末的时候，数学家们却普遍存在着一种悲观的情绪。其原因是对于数学靠内在逻辑需要推动而发展的前景缺乏充分的预见。 19世纪，数学跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。 ⑴群和伽罗瓦理论 对于5次及以上代数方程是否有根式解的问题，拉格朗日第一个给出了否定的回答，但没有给出证明。 1824年，22岁的挪威数学家阿贝尔（公元1802年至公元1829年）在论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》中给出完整的证明。这里，他引入了“域（field）”的概念。
那么，有没有特殊的方程能够用根式来求解？怎样判断？
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1829年～1831年，法国数学家伽罗瓦（公元1811年至公元1832年）在几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而彻底解决了经历了300年的世纪难题。
他的思想是将n次方程的n个根作为一个整体来考虑，并研究它们之间的排列或“置换”。这些“置换”的全体构成一个集合，伽罗瓦称之为“群”，这是历史上最早的“群”的定义。继而伽罗瓦理论形成。 代数学由于“群”的概念的引进和发展而获得了新生。 ⑵布尔代数和代数数论 早在17世纪，莱布尼兹就想要发明一种通用的语言来指导推理。他提出的逻辑数学化的思想在19世纪中后叶得以实现。 英国数学家布尔（公元1815年至公元1864年）的逻辑代数即“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。他的思想集中在1847年发表的著作《逻辑的数学分析》和1854年出版的《思维规律研究》中。 1801年德国数学家高斯（公元1777年至公元1855年）发表了《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。在其中，他研究了同余理论，复整数理论和型的理论，并证明了二次互反律。
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德国数学家库默尔（公元1810年至公元1893年）是在高斯之后对代数数论作出重要贡献的数学家。他的工作与证明费马大定理有关，并在1844年～1847年间创立了理想数理论。
⑶非欧几何与射影几何
从公元前3世纪到18世纪末，数学家们一直对欧几里得几何学中的第五公设，即平行公设心存疑虑。18世纪中叶开始，数学家们发展了这种平行公设在其中不成立的新几何，高斯称之为非欧几何。对非欧几何的发明有影响的数学家有：高斯、波约和罗巴切夫斯基。 随后，德国数学家黎曼（公元1826年至公元1866年）在1854年发展了非欧几何，建立了黎曼几何。黎曼是最先理解非欧几何全部意义的数学家，也是现代数学史上最具创造性的数学家之一。 19世纪70年代以后，德国数学家克莱因、法国数学家庞加莱先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。 19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其工作，重新刺激了射影几何的研究。到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已作出了区别。
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19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中的部分公设或公理，产生了多种几何学（P242页）。所以，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的目标。
首先提出统一几何学计划的是德国数学家克莱因（公元1849年至公元1925年）。这种思想体现在1872年他的就职演讲《爱尔朗根纲领》中。 其次，希尔伯特（公元1862年至公元1943年）提出了统一几何学的途径-----公理化方法。并在历史上第一次明确阐明了选择和组织公理系统的原则。 6．分析学及其严格化 ⑴柯西与分析基础 19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西（公元1789年至公元1851年）。 柯西在其代表作《分析教程（1821年）、《无限小计算教程概论》中严格地定义了微积分的基本概念，如：变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等，（P248页）。
柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键一步。他的研究结果一开始就引起了科学界的很大轰动。
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然而，柯西的理论还只能说“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。
1861年德国数学家魏尔斯特拉斯（公元1815年至公元1897年）举出一个处处连续但却处处不可微的函数例子，使数学界大为震惊： f(x)??bncos(an?x)其中a是奇数，b?(0,1)为常数，使得n?0?ab?1?3?。 2把分析建立在“纯粹算术”的基础上，导致了19世纪后半叶数学史上著名的“分析算术化”运动。主角便是魏尔斯特拉斯。他关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。（P253页） ⑵集合论的诞生 在分析的严格化过程中，康托尔发展了一般点集的理论。（P255～258页）。 ⑶复分析的建立与解析数论的形成 复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，而且通过柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯三个人的工作而发展的。
柯西在1825年出版的《关于积分限为虚数的定积分的报告》
第五章 近代数学史，DOC
