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蒙日（公元1746年至公元1818年）； 拉普拉斯（公元1749年至公元1827年）； 勒让德（公元1752年至公元1833年）。
这一时期，微积分的深入发展表现在以下几个主要方面： A．积分技术与椭圆积分（不能用已知的初等函数表示）（法尼亚诺，欧拉，拉格朗日和勒让德及阿贝儿、雅可比）。 B．微积分向多元函数的推广 尼古拉·伯努利（公元1687年至公元1759年）证明了公式： ?2f(x,y)?2f(x,y)???（，符号由雅可比创立） ?x?y?y?x?y?xC．无穷级数理论（P181～184页） D．函数概念的深化 函数概念是莱布尼兹首先使用，最先将其公式化的是约翰·伯努利，而欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，并给出了函数的定义。他还区分了代数函数和超越函数。18世纪最重要的超越函数有??函数（名称和记号?(n?1)是勒让德后来在1811年给出的）和??函数。
欧拉在1771年给出这两个函数之间的关系：
在18世纪，已有的初等函数被推广到复数领域。欧拉在《无
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限小分析引论》中还发表了著名的公式：
(cos??isin?)n?cosn??isinn?
E．微积分严格化的尝试
牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的（尤其是无限小概念）。18世纪的数学家则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。 ②微积分的应用和新分支的形成 18世纪的数学家们一方面努力探索使微积分严格化的基础，一方面大胆扩展微积分的应用范围，形成了一系列新的数学分支。 A．常微分方程 常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。 1690年雅各布·伯努利提出了有名的悬链线问题。（P188页） 解一阶常微分方程Mdx?Ndy?0的所谓“积分因子法”，先后由欧拉和克莱洛提出。 欧拉在1743年给出了n阶常系数线性齐次方程的完整解法，并指出：n阶方程的通解是其n个特解的线性组合。他是最早区分“通解”与“特解”的数学家。
18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日在1774～
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1775年间用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程。 B．偏微分方程
微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支----偏微分方程。开始于达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线研究》，明确导出了弦的振动所满足的2?2u2?u偏微分方程：2?c 2?t?x并给出了通解：u(t,x)??(x?t)??(x?t)及初始条件u(0,x)?f(x) 之后，欧拉在1749年也发表了《论弦的振动》。 18世纪的另一类偏微分方程是位势方程：通称“拉普拉斯方程” 拉格朗日、拉普拉斯、勒让德并称为“巴黎三L”。 拉普拉斯有一句名言：“我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。” C．变分法
变分法起源于“最速降线”和其他一些类似的问题（P193页）。这个问题最早由约翰·伯努利提出向其他数学家挑战。牛顿给出了解答：摆线。变分法处理的是一个全新的课题。变分
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的概念由拉格朗日首创，用记号?表示。
③18世纪的几何与代数
分析方法的应用开拓出一个崭新的几何分支-----微分几何。 A．微分几何的形成
欧拉是微分几何的重要奠基人。他关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》（1760年）被认为是微分几何史上的一个里程碑。 18世纪微分几何的发展由于蒙日的工作而臻于高峰。 B．方程论及其他 18世纪代数学的主题仍然是代数方程。 这世纪的最后一年（1799年），年青的高斯公布了代数基本定理（n次代数方程恰有n个根）的第一个实质性证明。 瑞士数学家克拉默（公元1704年至公元1752年）在《代数曲线分析引论》（1750年）中提出了线性代数方程组解的表达式法则，即“克拉默法则”。 法国数学家范德蒙德（公元1735年至公元1796年）在1772年的研究中，使行列式成为独立的数学对象，因此被认为是行列式理论的奠基人。
欧拉在1737年证明了e是无理数。兰伯特在1761年证明了
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?是无理数。
之后，数学家们将无理数区分为代数数和超越数。1873年和1882年，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼分别证明了e和?的超越性。 C．数论进展 近代意义的数论研究是从费马开始的。他提出的一堆定理（猜想），让数学家们忙碌了好几个世纪。如：费马小定理；费马大定理等等。18世纪的数论研究都和这些定理有关。（P201～204页）。不过，18世纪的数学家们也提出了自己的猜想，著名的有： 德国数学家哥德巴赫（公元1690年至公元1764年）猜想（1742年提出）。 英国数学家华林（公元1734年至公元1798年）猜想（1770年提出）。 其中，华林猜想1909年由希尔伯特首次证明，哥德巴赫猜想至今没有彻底解决。 18世纪的数论还有两个深刻的工作： 1737年，欧拉导出了恒等式：
11?[1/(1?)]其中s>1，n取遍所有的正整数，p取遍??sspn?1np?
第五章 近代数学史，DOC
