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2024年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4
1．（本小题满分14分）
已知f(x)=
2x?a(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数. 2x?2（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
1的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使x得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范
围；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨
论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
4?2ax?2x2?2(x2?ax?2)解：（Ⅰ）f＇(x)== ， 2222(x?2)(x?2)∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x2－ax－2，
方法一：
?(1)=1－a－2≤0，
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① ? ?－1≤a≤1，
?(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇
(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二：
aa≥0， <0， 22①? 或
?(－1)=1+a－2≤0 ?(1)=1－a－2≤0
? 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 ? －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇
(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由
2x?a122
=，得x－ax－2=0， ∵△=a+8>0 2xx?2∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
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∴ 从而|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=a2?8.
x1x2=－2，
2∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2?8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0， ② ?
g(1)=m2+m－2≥0，
?m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
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当m≠0时，
m>0， m<0， ②? 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
? m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
2．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=
12
x上一点，直线l过点P且与抛2物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
|ST||ST|?的取|SP||SQ|值范围.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思
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想和综合解题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=
12x2
， ① 得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－
11k=-x，
切1∴直线l的方程为y－
12x12
=－1x (x－x1)，
1方法一：
联立①②消去y，得x2+
2xx－x12－2=0. 1∵M是PQ的中点
xxx0=
1?22=-1x， 1∴
y10=
2x12－1x(x0－x1).
1消去x11，得y0=x02+
2x2+1(x0≠0)，
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