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定积分典型例题20例答案

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分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形,通常用分部积分法.

21xx2x21解 ?xarcsinxdx??arcsinxd()?[?arcsinx]0??d(arcsinx)

0002221111x2dx. (1) ???4201?x2?令x?sint,则

?1x21?x2?0dx??20?2sintdsint??2?costdt??02sin2tdt

0cost1?sin2tsin2t?1?cos2ttsin2t??2 ??dt?[?]0?. (2)

2244将(2)式代入(1)式中得

?20?10xarcsinxdx??. 8?0例19设f(x)[0,?]上具有二阶连续导数,f?(?)?3且?[f(x)?f??(x)]cosxdx?2,求f?(0).

分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式,可考虑用分部积分法求解. 解 由于?[f(x)?f??(x)]cosxdx??f(x)dsinx??cosxdf?(x)

0???00??{?f(x)sinx?0??f?(x)sinxdx}?{[f?(x)cosx]?0??f(x)sinxdx}

00?????f?(?)?f?(0)?2.

故 f?(0)??2?f?(?)??2?3??5. 例20 计算???0dx. 2x?4x?3分析 该积分是无穷限的的反常积分,用定义来计算. 解

???0tdxdx1t11==limlim(?)dx 22x?4x?3t????0x?4x?3t???2?0x?1x?31x?1t1t?11=lim[ln]0=lim(ln?ln) t???2t???2x?3t?33=

ln3. 2

定积分典型例题20例答案

分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形,通常用分部积分法.21xx2x21解?xarcsinxdx??arcsinxd()?[?arcsinx]0??d(arcsinx)0002221111x2dx.(1)???4201?x2?令x?sint,则?1x21?x2?0d
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