2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1.2第1课时函数的单调性课后提升训练(含解析)人教B版必修第一册

第三章函数

3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第1课时 函数的单调性

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选题)(2020福建厦门高一检测)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是( ) A.

??(??1)-??(??2)

>0

??1-??2

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)≤f(x1)f(x2)

解析由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.故选AB. 答案AB 2.(多选题)下列各选项正确的是( )

A.若x1,x2∈I,当x1

??22

1

D.函数y=x的单调递减区间为(-∞,0]

解析A中,没强调x1,x2是区间I上的任意两个数,故不正确;B中,y=x在x≥0时是增函数,在x<0时是减函数,从而y=x在整个定义域上不具有单调性,故不正确;C中,y=-在整个定义域内不具有??2

2

1

单调性,故正确;D正确. 答案CD 3.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( ) A.(-∞,1) C.(,+∞)

21

B.(1,+∞) D.(-∞,)

2

11

解析由已知得2x<1,解得x<2. 答案D 4.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)

2

0≤??≤2,-1≤??-1≤1,

2

解析由题意得{-1≤??2-1≤1,解得{0≤??≤2,即1

??<0或??>1,??-1

2

2

??>0,

解析当a=0时,f(x)=x,显然f(x)在[1,+∞)内是增函数;当a≠0时,{-(3??-1)所以0

-≤1,

2??综上所述,0≤a≤1,即a的取值范围是[0,1]. 答案[0,1] 6.证明:函数y=x+??在区间(0,3]上是减函数. 证明任取00,

Δy=y2-y1=(??2+

99

??2

)?(??1+??)

1

9

=(x2-x1)-9(??2-??1)

??1??2

=(x2-x1)(1-??9

2??1

9

1??2

).

∵00,??即1-9

>1,

??2??1

<0.∴Δy=y2-y1<0,

9

∴函数y=x+??在(0,3]上是减函数.

能力提升练

1.定义在R上的函数y=f(x)关于y轴对称,且在[0,+∞)内是增函数,则下列关系成立的是( ) A.f(3)

B.f(-π)

解析依题意得f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在[0,+∞)内是增函数,所以f(3)

f(3)

答案D 2.函数y=√1-??2的单调递增区间是 .

21

解析由1-x≥0,得-1≤x≤1,∴函数y=√1-??2的定义域为[-1,1].设u=1-x,当-1≤x≤0时,u是x2

2

12

的增函数,而y是u的增函数,∴y是x的增函数;当0≤x≤1时,u是x的减函数,而y是u的增函数,∴y是x的减函数.∴y=2√1-??2的单调递增区间是[-1,0],单调递减区间是[0,1]. 答案[-1,0]

1

3.已知f(x)=????+1

在区间(-2,+∞)内是增函数,则实数??+2

a的取值范围是 .

解析设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-2

则f(x2)-f(x1)=????2+1????1+1

???2+2??1+2

=

(??2-??1)(2??-1)(??1+2)(??2+2)

.

∵-20,(x1+2)(x2+2)>0.

??2-??1

∴(??+2)(>0. ??+2)

1

2

又∵f(x)在(-2,+∞)内为增函数,

∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>2.

即实数a的取值范围是(2,+∞). 答案(2,+∞)

4.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)<3. (1)证明设x1

则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1),

由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,∴Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.

2

1

1

1

∵x10.∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2-x1)-1>0.∴Δy>0. ∴f(x)是R上的增函数.

(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,

∴f(2)=3.

∴原不等式可化为f(3m2-m-2)

由(1)得3m-m-2<2,

2

∴3m2-m-4<0.∴(3m-4)(m+1)<0. ∴-1

∴原不等式的解集为(-1,3).

素养培优练

4

4

如果函数y=f(x)(x∈D)满足:

(1)f(x)在D上是单调函数;

(2)存在闭区间[a,b]?D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]. 那么就称函数y=f(x)为闭函数.

试判断函数y=x+2x在[-1,+∞)内是否为闭函数.如果是闭函数,那么求出符合条件的区间[a,b];如果不是闭函数,请说明理由.

解设x1,x2是[-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-1≤x1

2

f(x2)-f(x1)=(??22+2x2)-(??1+2x1) 2=(??22???1)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2).

2

∵-1≤x10,x1+x2+2>0. ∴(x2-x1)(x1+x2+2)>0.∴f(x2)>f(x1). ∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是增函数.

假设存在符合条件的区间[a,b],则有

{

解得{

??(??)=??,??2+2??=??,

即{2

??(??)=??,??+2??=??,

??=0,或{??=0,或{??=-1,或{??=-1,

??=0??=-1??=0??=-1.

??=-1,

??=0.

又∵-1≤a

∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是闭函数,符合条件的区间是[-1,0].