奥数精选超级难题10道（附详细答案）

如果内圈是m分，外圈是n分，你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗？ 答案与分析：

在11分以内，只有4的倍数可能达到。11和12当然也可能。如果13是可能的，它必须等于先前可能达到的分数加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因为15-4＝11。继续依同样的方式推算，可以证明29是不可能达到的，但之后的 30＝2× (11)＋2×④ 31＝ ＋5×④ 32＝ 8×④ 33＝3×)

有4个连续可能达到的分数，因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的，因为：

34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4 37＝33＋4

故以归纳法推论，任何大于29的分数都可以达到。 不可能达到的分数如下：

1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18， 21，22，25，29

一般来说，要是m与n除了1以外没有公因数，则不可能达到的最大分数是

mn-m-n

然而，如果m与n有一个公因数d，那么就只有d的倍数才可能达到，因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。证明上面的公式已超出本书的范围，但是以下述的方式分析题目中的例子，也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。 先只考虑4，所有4的倍数都是可达到的。接着要证明的就是加上11的倍数，并超过某一数目之后，任何分数都是可达到的。 由于

11＝2×4＋3 22＝5×4＋2 33＝8×4＋1

故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1，因此可以把它们写成如下的形式：

4n＋3 4n＋2 4n＋1

所以33以上的所有分数都是可能达到的。略加思考之后，我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4，它的形式应该是

(4-1)×11-4

如以通式表示，则：

(n-1)m-n＝nm-m-n

八旬老人的真实年龄

有位八十多岁的退休数学老师，整天拿着他十几岁的曾孙女送给他的计算器玩。他发现自己年龄的两个数字的立方差，刚好等于曾孙女年龄的平方。他们两人各是多少岁？ 分析与解答

83-73＝512-343＝169＝132

这位退休的数学老师87岁，他的曾孙女13岁。

找出合适的数字来

这个减法的算式只有一种答案，其中各个字母各代表一个数字。除此之外也请试着找出其他4个字母组成的单词，能符合同样的算式，而且单词都是有意义的。

分析与解答

此算式的答案如下：

有许多单词是由4个字母以不同顺序组成的，例如：

EVIL LIVE VILE VEIL LEVI

但是能完成符合上面数字模式的并不多。另一个例子是：

飞镖板上的秘密

如图所示的飞镖板能使相邻分数差的和为最大。其中： 差10分的有10个； 差9分的有9个； 差19分的有1个； 总和为200。

一般而言，如果n是偶数，可以将1、2、3、?n的数字排成圆

邻数字

差的和为最小？ 分析与解答

传统飞镖板上分数的分布似乎并无任何数学规律。为了改正这个缺点，请重新设计飞镖板，使板上相邻分数差的和为最大。

数学博士的法眼

数字博士总是能一眼看出数字之间的关系。举例来说，她注意到她的门牌号码和两位朋友的门牌号码正好是3个连续的质数，而且乘积就是她的电话号码。

数字博士住在两位朋友的中间，她的电话号码有5位数，第一个数字是6。 请找出数字博士的门牌号码及电话号码。 答案与分析 37×41×43＝65231

因此数字博士的门牌号码是41，电话号码是652 31。

三组可能的两位数

上面的数字是用计算器将一个二位数除以另一个二位数后所得到的结果。这两个二位数是多少？ 解答与分析：

有3组可能的数字：

13÷29，26÷58，39÷87

都可以得到 0.448 275 9。