（课标通用版）2024版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 第2课时 直线与椭圆检测 文
第5讲 第2课时 直线与椭圆
[基础题组
练］
1．已知椭圆＋y＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝错误!,则实数m的值为（ )
2A．±1 C. 错误!
解析:选A。由错误!消去y并整理， 得3x＋4mx＋2m－2＝0。 设A（x1，y1），B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!. 由题意，得错误!＝错误!， 解得m＝±1。
2．过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.错误! 5C. 4
B.错误! D.错误!
2
2
x2
2
B．±错误! D．±错误!
解析:选B。由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立错误!解得交点A（0，－2），B错误!，所以S△OAB＝错误!·|OF|·｜yA－yB|＝错误!×1×错误!＝
错误!，故选B.
3．已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的右焦点为F（3，0)，过点F的直线交椭圆于
A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ )
A。错误!＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1
B.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1
解析：选D。设A（x1,y1)，B（x2,y2)，则错误!两式相减，得错误!＋错误!＝0.因为线段AB的中点坐标为（1，－1）,所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2.将其代入上式，得
y1－y2
＝错误!。因为x1－x2
0＋122
直线AB的斜率为＝错误!，所以错误!＝错误!，所以a＝2b.因为右焦点为F（3，0）,所以
3－1
1
（课标通用版）2024版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 第2课时 直线与椭圆检测 文 a2－b2＝c2＝9，解得a2＝18，b2＝9。所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。故选D.
4．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)与直线y＝x＋3只有一个公共点,且椭圆的离心率为错误!，则椭圆C的方程为( )
A。错误!＋错误!＝1 C。错误!＋错误!＝1
B。错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1
2
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解析：选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得（a＋b)x＋6ax＋9a－ab＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得,Δ＝(6a）－4(a＋b)(9a－ab)＝0，化简得a＋b＝9。又由椭圆的离心率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，则错误!＝错误!,解得a＝5，b＝4，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
5．已知点M错误!在椭圆G：错误!＋错误!＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点的距离之和为4错误!. （1）求椭圆G的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(－3，2），求△PAB的面积．
解：(1)因为2a＝43，所以a＝2错误!. 又点M错误!在椭圆G上，
所以错误!＋错误!＝1，解得b＝4。 所以椭圆G的方程为错误!＋错误!＝1。 （2）设直线l的方程为y＝x＋m， 由错误!
得4x＋6mx＋3m－12＝0.①
设A(x1,y1)，B(x2，y2）(x1〈x2)，AB的中点为E(x0，y0），则x0＝错误!＝－错误!，y0＝x0
＋m＝错误!.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PE⊥AB. 所以PE的斜率k＝错误!＝－1. 解得m＝2.
此时方程①为4x＋12x＝0,解得x1＝－3,x2＝0， 所以|AB|＝错误!|x1－x2|＝3错误!.
此时,点P(－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝错误!＝错误!， 所以△PAB的面积S＝错误!｜AB｜·d＝错误!。 6．已知椭圆错误!＋y＝1，
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（课标通用版）2024版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 第2课时 直线与椭圆检测 文 (1)过A(2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2）求过点P错误!且被P点平分的弦所在直线的方程．
解：（1）设弦的端点为P（x1，y1)，Q(x2,y2)，其中点是M（x，y)．
错误!
①－②得错误!＝－错误!＝－错误!， 所以－错误!＝错误!，
化简得x－2x＋2y－2y＝0(包含在椭圆错误!＋y＝1内部的部分）．
(2）由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－错误!＝－错误!，因此所求直线方程是y－错误!＝－错误!错误!，化简得2x＋4y－3＝0.
[综合题组练]
1．已知F1（－c，0)，F2(c，0）为椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且错误!·错误!＝c，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析：设P（x,y），则错误!·错误!＝（－c－x，－y）·(c－x,－y)＝x－c＋y＝c，① 将y＝b－错误!x代入①式解得
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x2＝错误!＝错误!，
又x∈［0，a］，所以2c≤a≤3c， 所以e＝错误!∈错误!。 答案：错误!
2．（综合型）设直线l:2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x＋错误!＝1的交点为A,B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为错误!的点P的个数为________．
解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，所以交点分别为椭圆顶点（1,0)和(0,2），则｜AB｜＝错误!，由△PAB的面积为错误!，得点P到直线AB的距离为错误!，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为错误!的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，所以满足题意的点P有2个．
答案:2
3．(2024·洛阳市第一次统考）已知短轴的长为2的椭圆E：错误!＋错误!＝1(a>b>0),直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为错误!.
（1）求椭圆E的方程；
(2）直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足错误!＋错误!错误!－2错误!＝0，求直线l的方程．
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