2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
一项。
1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则 ( ) A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-?,0)∪(2,+?), ∴A∪B=R,故选B.
2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( ) A、－4
4
（B）－ 5
（C）4
4（D） 5
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
|4?3i|442?32(3?4i)34【解析】由题知z===?i，故z的虚部为，故选D.
3?4i5(3?4i)(3?4i)553、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事
先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.
【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.
5x2y24、已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的离心率为，则C的渐近线方程为
2ab111A.y??x B.y??x C.y??x D.y??x
432【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
c5b215c2a2?b2b1【解析】由题知，?，即=2=，∴=，∴=，∴C的渐近线方?22a2aa44aa2程为y??1x，故选C. 2
5、运行如下程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出s属于
A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]
【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.
【解析】有题意知，当t?[?1,1)时，s?3t?[?3,3)，当t?[1,3]时，s?4t?t?[3,4]， ∴输出s属于[-3,4]，故选A.
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一
个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
500π3A、cm
3
866π3B、cm
3
21372π32048π3C、cm D、cm
33
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距
4??53500π3cm，故选A. 离为R-2，则R?(R?2)?4，解得R=5，∴球的体积为=332227、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm?1＝－2，Sm＝0，Sm?1＝3，则m＝ ( ) A、3 B、4 C、5 D、6
【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知Sm=
m(a1?am)=0，∴a1=－am=－（Sm-Sm?1）=－2， 2am?1= Sm?1-Sm=3，∴公差d=am?1-am=1，∴3=am?1=－2?m，
∴m=5，故选C.
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.16?8? B.8?8?
C.16?16? D.8?16?
【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为
1??22?4?4?2?2 =16?8?，故选A. 29、设m为正整数，(x?y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x?y)2m?1展开式的二项式
系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( ) A、5 B、6 C、7 D、8
【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a=C2m，b=C2m?1，∴13C2m=7C2m?1，即解得m=6，故选B.
x2y2
10、已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB
的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( x2y2
A、45＋36＝1
x2y2
B、36＋27＝1
)
x2y2
D、18＋9＝1
x2y2
C、27＋18＝1
mm?1mm?113?(2m)!7?(2m?1)!=， (m?1)!m!m!m!【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题. 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2=2，y1?y2=－2，
22x12y12x2y2??1 ① 2?2?1 ② a2b2ab①－②得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0， 22aby1?y2b210?11b2(x1?x2)b2222∴kAB==?2=2，又kAB==，∴2=，又9=c=a?b，解
x1?x2a23?12a(y1?y2)ax2y2??1，故选D. 得b=9，a=18，∴椭圆方程为
18922??x2?2x,x?011、已知函数f(x)=?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是
?ln(x?1),x?0A.(??,0] B.(??,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
?x2?2x,x?0?x?0?x?0【解析】∵|f(x)|=?，∴由|f(x)|≥ax得，且?， ?2ln(x?1)?axln(x?1),x?0x?2x?ax???由??x?0?x?2x?ax2可得a?x?2，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当a=1时，易证ln(x?1)?x对x?0恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D. 12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…
cn＋anbn＋an
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2，cn＋1＝2，则( ) A、{Sn}为递减数列
B、{Sn}为递增数列
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题. 【解析】bgc=b?[ta?(1?t)b]=ta?b?(1?t)b=14、若数列{an}的前n项和为Sn＝
211t?1?t=1?t=0，解得t=2. 2221an?，则数列{an}的通项公式是an=______. 33【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是
容易题.
21a1?，解得a1=1， 33212212当n≥2时，an=Sn?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，
333333【解析】当n=1时，a1=S1=
∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2)n?1.
15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.
【解析】∵f(x)=sinx?2cosx=5(525sinx?cosx) 55令cos?=
525，sin???，则f(x)=5(sinxcos??sin?cosx)=5sin(x??)， 55当x??=2k???2,k?z，即x=2k???2??,k?z时，f(x)取最大值，此时
?=2k???2??,k?z，∴cos?=cos(2k??22?2??)=sin?=?25. 516、若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由f(x)图像关于直线x=－2对称，则
0=f(?1)?f(?3)=[1?(?3)][(?3)?3a?b]，
0=f(1)?f(?5)=[1?(?5)][(?5)?5a?b]，解得a=8，b=15， ∴f(x)=(1?x)(x?8x?15)，
∴f?(x)=?2x(x?8x?15)?(1?x)(2x?8)=?4(x?6x?7x?2)
=?4(x?2)(x?2?5)(x?2?5)
当x∈(－∞,?2?5)∪(－2, ?2?5)时，f?(x)＞0， 当x∈(?2?5,－2)∪(?2?5,+∞)时，f?(x)＜0，
∴f(x)在（－∞，?2?5）单调递增，在（?2?5，－2）单调递减，在（－2，?2?5）单调递增，在（?2?5，+∞）单调递减，故当x=?2?5和x=?2?5时取极大值，2232222222f(?2?5)=f(?2?5)=16.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
(1)若PB=2，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得
o7117； PA2=3??2?3?cos30o=，∴PA=2424（Ⅱ）设∠PBA=?，由已知得，PB=sin?，在△PBA中，由正弦定理得，
3sin?，化简得，3cos??4sin?， ?oosin150sin(30??)∴tan?=33，∴tan?PBA=. 4418、（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA
2013年高考真题 - 理科数学（新课标I卷）解析版
