文都考研数学寒假作业
第十三天 定积分
一、概念、考点
,设f(则1.x)x)在区间[a,b]上可积,g(设f(则2.x)在区间[a,b]上可积,设f(则3.x)可积,
∫
ba[]x)x)dx=f(x)dx±g(x)dx.±g(f(
aa4.dx=b-a.
a()设f((,则f(5.1x)≥0a≤x≤b)x)dx≥0;
ab∫()设f((,则f(2x)≥g(x)a≤x≤b)dx≥g(dx.
∫x)∫x)
bb∫
b∫
ba∫
ba∫
bkx)dx=kf(x)dx.f(
ax)dx=f(x)dx+f(x)dx.f(
ac∫
c∫
b∫
b∫
b()设f(、则3x)x)a,b]上可积,|f(|在区间[
aa设f(且m≤f(则6.x)在区间[a,b]上可积,x)≤M,
∫
bax)dx≤f(
()(,,积分中值定理)设f(则存在ξ∈[使得7.1x)∈C[a,b]a,b]()(,,推广的积分中值定理)设f(则存在ξ∈(使得2x)∈C[a,b]a,b)
(x)dx=f(b-a).f(ξ)∫
bam(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a).
a(x)dx=f(b-a).f(ξ)∫
ba∫
bx)x.|d∫|f(
ba二、知识演练
利用定积分的几何意义,证明下列等式:1.
()21xdx=1;
0
111
)求极限2.lim(.++…+
n→∞n+2n+4n+2n∫
1
()2
∫
10
1-xdx=
2
π.412n…+2)求极限3.lim(22+22+2.n→∞n+1n+2n+n设f(4.x)连续,F(x)=
x0
求Fx-t)t)dt,″(x).f(
∫(
22
文都考研数学寒假作业
计算下列定积分5.()1()3
13
lnxdx.1x计算下列定积分:6.
2
∫
10
dx()122.)0(x+1
1
∫∫
9140
xdx.2
()2x+1
()2
∫
10
sinxxdx.
.
)xx计算下列定积分:7.
()exd1x.
π
2
()3
∫x()4dx.∫1+cosx()设f(]上连续,证明:f(8.1x)在[0,1dx≥ f(dx .
∫x)∫x)
()计算a2ctane·sinxdx.
∫r
()l(2n1+2x)dx.
0
π2∫1+sinx()3edx.∫1+cosxx0
π
∫(1+
dxx+xsinx()2dx.
21-1-x1
∫
1
22
10
0
2
10
2
xπ-
2
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文都考研数学寒假作业_第13天
