湖南师大附中2024届高三月考试卷(七)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则(B) A．A∩B≠ B．A∪B＝R C．BA D．AB
【解析】由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R，故选B. 2．若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的虚部为(A) A．1 B．6 C．i D．6i
【解析】∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，∴z＝6＋i，故z的虚部为1.故选A.
2
3．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间为(B)
xA.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
2
【解析】f(x)＝ln(x＋1)－在(0，＋∞)函数单增，且f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln
x2
3－1>0.所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间为(1，2).故选B.
x
4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)
95A. B. 321637C. D. 816
【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面
63
积为6，则所求的概率是P＝＝.则选C.
168
x2y2
5．设F1和F2为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若点P(0，2b)、F1、F2是等腰
ab直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)
21321
A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
733
22
【解析】由双曲线的对称性可知，直角顶点为P，在等腰三角形PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|
22222222222222
＝|F1F2|，得c＋4b＋c＋4b＝4c，化简得8b＝2c，即4b＝c，把c＝a＋b代入4b＝
b213222
c，得3b＝a，即2＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.
a33
6．给出下列四个命题：
①“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为真命题； ②“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a·b<0； ③若命题p：x－1<0，则綈p：x－1>0；
22
④命题“x∈R，使得x＋x＋1<0”的否定是：“x∈R，均有x＋x＋1≥0”．
其中不正确的个数是(A) A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为：“若f′(x0)＝0，则x0为y＝f(x)的极值点”，为假命题，即①不正确；“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是a·b<0，即②不正确；若命题p：x－1<0，则綈p：x－1≥0，即③不正确；特称命题的否定为全称命题，即④正确．所以不正确的个数是3个．故选A.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是(A) A．(30，42] B．(30，42) C．(42，56] D．(42，56)
【解析】依次运行程序框图中的程序可得：
第一次，S＝0＋2×1＝2，k＝2，满足条件，继续运行； 第二次，S＝2＋2×2＝6，k＝3，满足条件，继续运行； 第三次，S＝6＋2×3＝12，k＝4，满足条件，继续运行； 第四次，S＝12＋2×4＝20，k＝5，满足条件，继续运行； 第五次，S＝20＋2×5＝30，k＝6，满足条件，继续运行；
第六次，S＝30＋2×6＝42，k＝7，不满足条件，停止运行，输出7.故选A.
8．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是．．．．．(C)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【解析】由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上C是不一定正确的，故选C.
2
9．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－3，则△MAF的面积为(C)
A.3 B．23 C．43 D．83 【解析】设准线l与x轴交于点N，所以|FN|＝2，因为直线AF的斜率为－3，所以∠AFN＝60°，所以|AF|＝4，由抛物线定义知，|MA|＝|MF|，且∠MAF＝∠AFN＝60°，所以△MAF32
是以4为边长的正三角形，其面积为×4＝43，故选C.
4
?3π3π?2
10．若函数f(x)＝23sin ωxcos ωx＋2sin ωx＋cos 2ωx在区间?－，?上单
2??2
调递增，则正数ω的最大值为(B)
1111A. B. C. D. 8643【解析】因为f(x)＝23sin ωxcos ωx＋2sin ωx＋cos 2ωx＝3sin 2ωx＋
3π3π?1－cos 2ωx?－，?上单调递2·＋cos 2ωx＝3sin 2ωx＋1.由函数y＝f(x)在区间?2?2?2
3π?3π?T?π?1?π?增知，所以－?－?≤＝??，即3π≤??，结合ω>0，可得0<ω≤.所以正数2?2?2?2ω?6?2ω?1
ω的最大值为，故选B.
6
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体
2
的体积为(A)
23A. 67B. 27C. 6D．4
【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB1－DCC1，挖去一个三棱锥E11?123?－FCG，故所求几何体的体积为×(2×2)×2－×?×1×1?×1＝.故选A. 23?26?
12．已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若函数y＝f′(x)没有零点，且
?ππ?f[f(x)－2 019x]＝2 019，当g(x)＝sin x－cos x－kx在?－，?上与f(x)在R上的单调?22?
性相同时，则实数k的取值范围是(A)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[－1，2] D．[2，＋∞)
【解析】由函数y＝f′(x)没有零点，即方程f′(x)＝0无解，则f′(x)>0或f′(x)<0
xx恒成立，所以f(x)为R上的单调函数，x∈R都有f[f(x)－2 019]＝2 019，则f(x)－2 019
xx为定值，设t＝f(x)－2 019，则f(x)＝t＋2 019，易知f(x)为R上的增函数，∵g(x)＝sin
?π?x－cos x－kx，∴g′(x)＝cos x＋sin x－k＝2sin?x＋?－k，又g(x)与f(x)的单调性
4??
?ππ??ππ?相同，∴g(x)在?－，?上单调递增，则当x∈?－，?时，g′(x)≥0恒成立．当?22??22?
π?π3π?2??ππ??π???π?x∈?－，?时，x＋∈?－，?，sin?x＋?∈?－，1?，∴2sin?x＋?∈[－1，
4?4??24?4?4?22????2]．此时k≤－1，故选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
112__017
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 018＝__2－22__．
132
【解析】由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a4＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝q，
2
12 018（1－2）212 017
故q＝2，所以S2 018＝＝2－.
1－22
1→4→→→→
14．设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC(λ∈R)，则λ＝__
33
－3__．
1→4→→→
【解析】∵D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，∴B，C，D三点共线．若BC＝
33
1→4→→→→→→→1→λ－1→→
λDC(λ∈R)，∴AC－AB＝λAC－λAD，化为：AD＝AB＋AC，与AD＝－AB＋AC，比
λλ33
11
较可得：＝－，解得λ＝－3.
λ3
15．记命题p为“点M(x，y)满足x＋y≤a(a>0)”，记命题q为“M(x，y)满足x－2y≤4，??4”若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值为____． ?x＋y≤4，
5??4x－3y＋4≥0，
?2x－4y≤8，
222
?
【解析】依题意可知，以原点为圆心，a为半径的圆完全在由不等式组?x＋y≤4，所
??4x－3y＋4≥0
44
围成的区域内，由于原点到直线4x－3y＋4＝0的距离为，从而实数a的最大值为.
55
22
16．已知函数f(x)＝|x－4|＋x＋mx，若函数f(x)在(0，3)上有两个不同的零点，则
14
实数m的取值范围是__－ 3 【解析】将函数f(x)在(0，3)上有两个不同的零点等价转化为关于x的方程f(x)＝0在 4 －，0 ??x(0，3)上有两个不同的实数解，等价于函数y＝m和函数y＝?的图象有两个 4??x－2x，2 14 交点，所以实数k的取值范围是－ 3 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且asin A＋csin C－bsin B＝2asin(A＋B)． (1)求B的值； (2)若向量m＝(cos A，cos 2A)，n＝(12，－5)，a＝4，当m·n取得最大值时，求b的值． 【解析】(1)因为△ABC中，sin(A＋B)＝sin C， 所以asin A＋csin C－bsin B＝2asin(A＋B) 变形为asin A＋csin C－bsin B＝2asin C. 222 由正弦定理得：a＋c－b＝2ac. a2＋c2－b22 由余弦定理得：cos B＝＝， 2ac2π 又因为0 4 (2)因为m·n＝12cos A－5cos 2A 3?243?2 ＝－10cos A＋12cos A＋5＝－10?cos A－?＋， 5?5? 34 所以当cos A＝时，m·n取得最大值，此时sin A＝， 55 由正弦定理得b＝asin B52 ＝.12分 sin A2 18．(本题满分12分) 如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD＝2BC＝2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形．且PA＝23. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A－CDE的体积． 【解析】(1)证明：∵AB⊥AD，AB＝AD＝2，∴BD＝22， 又△PBD为正三角形，所以PB＝PD＝BD＝22， 又∵AB＝2，PA＝23，所以AB⊥PB， 又∵AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，PB∩BC＝B， 所以AB⊥平面PBC，又因为AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PBC.6分 (2)如图，连接AC交BD于点O，因为BC∥AD， 且AD＝2BC，所以OD＝2OB，连接OE， 因为PB∥平面ACE，所以PB∥OE，则DE＝2PE， 由(1)点P到平面ABCD的距离为2， 24 所以点E到平面ABCD的距离为h＝×2＝， 33 11?1?48 所以VA－CDE＝VE－ACD＝S△ACD·h＝×?×2×2?×＝， 33?2?39 8 即四面体A－CDE的体积为.12分 9 19．(本题满分12分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，3，4，5，6)的数据作了初步统计，得到如下数据： 年份 2024 2024 2024 2024 2024 2024 年宣传费x(万元) 38 48 58 68 78 88 年销售量y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 b经电脑模拟，发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y＝a·x(a，b>0)．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表： 2错误!(ln xi) 75.3 24.6 18.3 101.4 (1)根据所给数据，求y关于x的回归方程； e (2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝2y－x.若想在2024年达到年利润 14 最大，请预测2024年的宣传费用是多少万元？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝β·u＋α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝错误!，α＝错误!－β·错误!. b【解析】(1)对y＝a·x，(a，b>0)两边取对数得ln y＝ln a＋bln x，令ui＝ln xi，vi＝ln yi －24.6－18.3 得v＝ln a＋b·u，由题给数据，得：u＝＝4.1，v＝＝3.05， 66 错误!错误!错误!＝101.4，于是 b＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，ln a＝错误!－b错误!＝3.05－错误!×4.1＝1， 得a＝e，故所求回归方程为y＝e·x.8分 eee^ (2)由(1)知，年利润z的预报值为z＝2y－x＝e2x－x＝－(x－142x) 141414 e^2 ＝－(x－72)＋7e，所以当x＝72即x＝98时，z有最大值． 14 故当2024年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.12分
湖南省师大附中2024届高三数学月考试题(七)文
