故
dz?1,2??f?(0)?8dx?2dy??4dx?2dy.
（4）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? 2 .
??12??B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算
【分析】 将矩阵方程改写为AX即可.
【详解】 由题设，有 于是有
BA?E?4，而A?E?11?11?2，所以B?2.
（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间
?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??
1 . 9【分析】 利用X与Y的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X与Y具有相同的概率密度
?1?, 0?x?3 f(x)??3.
??0, 其他则
P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?
??P?X?1??2?11?1???dx??. ?03?9S阴1?. S92【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 Pmax?X,Y??1?P?X?1,Y?1??（6）设总体X的概率密度为本方差为S，则ES?2.
【分析】利用样本方差的性质ES?DX即可. 【详解】因为
222??1?xf?x??e????x????,X1,X2,L,Xn为总体X的简单随机样本，其样
2EX??????xf(x)dx????2xe????x?xedx?0， 2?2?e?xdx??2e?x0????0?x??0?2，
所以
DX?EX2??EX??2?0?2，又因S2是DX的无偏估计量，
22所以 ES?DX?2.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增加，曲线
y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，显然当?x?0时，
?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).
（8）设函数
f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则
(A) (C)
f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ C ]
【分析】从limh?0f?h2?h2?1入手计算f(0)，利用导数的左右导数定义判定f??(0),f??(0)的存在性. ?1知，limf?h2??0.又因为f?x?在x?0处连续，则
h?0 【详解】由limh?0f?h2?h2
f(0)?limf(x)?limf?h2??0.
x?0h?0 令t?h，则1?limh?02f?h2?h2?lim?t?0f?t??f(0)?f??(0).
t 所以
f??(0)存在，故本题选（C）.
（9）若级数
?an?1?n收敛，则级数
(A)
?an?1??n收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1??an?an?1收敛. [ Ｄ ] ?2n?1【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
?an收敛知?an?1收敛，所以级数?n?1n?1an?an?1收敛，故应选(Ｄ). 2n?1? 或利用排除法： 取an?(?1)nn1，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； n1，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n 取an?(?1)（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解
是 （Ａ）C（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.
?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ Ｂ ]
【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于y1(x)?y2(x)是对应齐次线性微分方程y??P(x)y?0的非零解，所以它的通解是
Y?C?y1(x)?y2(x)?，故原方程的通解为
y?y1(x)?Y?y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
y?y*?Y.
其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.
（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若(B) 若(C) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ Ｄ ]
【分析】 利用拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)在(x0,y0,?0)（?0是对应x0,y0的参数?的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为?0，则
?F?(x,y,?)?0?f?(x,y)????(x,y)?0?x000?x000x00 ?， 即? .
??????Fy(x0,y0,?0)?0?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0消去?0，得 整理得
fx?(x0,y0)?y?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?x?(x0,y0)?0,
fx?(x0,y0)?1?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).（因为?y?(x,y)?0），
若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选（Ｄ）.
（12）设?1,?2,L,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
(A) 若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记B?(?1,?2,L,?s)，则(A?1,A?2,L,A?s)?AB.
所以，若向量组?1,?2,L,?s线性相关，则r(B)?s，从而r(AB)?r(B)?s，向量组A?1,A?2,L,A?s也线性相关，故应选(Ａ). （13）设A为3阶矩阵，将
A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ Ｂ ］
TT?1?1【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得
?110??1?10??110??1?10????????? B?010A, C?B010?010A010，
?????????001??001??001??001??????????1?10????1?1而 P?010，则有C?PAP.故应选（Ｂ）.
???001???（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
则必有 (A) (C)
22?1??2 (B) ?1??2
?1??2 (D) ?1??2 [ A ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
?X??1?Y??21?1?P????P???，
????2?11?2?? 则
?1??1??1??1?2????1?2????1，即???????.
??1???2???1???2? 其中?(x)是标准正态分布的分布函数.
又?(x)是单调不减函数，则
故选(A).
1?1?1?2，即?1??2.
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设f?x,y??yy?,x?0,y?0,求
1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ) (Ⅱ)
g?x??limf?x,y?；
x?0?limg?x?.
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含
问的结果，含???未定式极限.
?,0??型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)?
考研数学三真题及答案解析
