2006年考研数学（三）真题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim???1?n?n?1??n???n??______.
（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且（3）设函数f(u)可微,且
f??x??ef?x?，
f?2??1，则f????2??____.
?1,2?f??0??122,则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分dz2?_____.
（4）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? . ?12??（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间（6）设总体X的概率密度为
22?0,3?上的均匀分布，则P?max?X,Y??1??_______.
1?xf?x??e????x????,X1,X2,L,Xn为总体X的简单随机样本，其样
2本方差为S，则ES?____.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]
（8）设函数
f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则
(A) (C)
f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在
f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ ]
（9）若级数
?an?1n?n收敛，则级数
(A)
?an?1??收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1an?an?1收敛. [ ] ?2n?1（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解
是 （Ａ）C（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.
?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ ]
（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若(B) 若(C) 若(D) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ ]
（12）设?1,?2,L,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
(A) 若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. [ ]
（13）设A为3阶矩阵，将
A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ （14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
则必有 (A) (C)
22?1?1TT?1??2 (B) ?1??2
?1??2 (D) ?1??2 [ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设f?x,y??yy?,x?0,y?0,求
1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ) (Ⅱ)
g?x??limf?x,y?；
x?0?limg?x?.
（16）（本题满分7分）
计算二重积分
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M斜率之差等于ax（常数a>0）.
(Ⅰ) 求L的方程； (Ⅱ) 当L与直线
?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的
8y?ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值.
3n?1（19）（本题满分10分）
?1?x2n?1?求幂级数?的收敛域及和函数s(x). n?1n?2n?1??（20）（本题满分13分）
设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?, ?4??4,4,4,4?a?，
TTTT问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵的两个解.
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??；
TA的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0TT3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.
2??（22）（本题满分13分）
6设随机变量X的概率密度为
?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，
?4?0, 其他??令Y?X2,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.
fY?y?；
(Ⅰ)求Y的概率密度(Ⅱ)Cov(X,Y)；
(Ⅲ)F???1?,4?. ?2?（23）（本题满分13分）
设总体X的概率密度为 其中?是未知参数于1的个数.
（Ⅰ）求?的矩估计； （Ⅱ）求?的最大似然估计
?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小
2006年考研数学（三）真题解析
二、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim???1?n?n?1??n???n??1.
lnN 【分析】将其对数恒等化N?e求解.
(?1)n?n?1? 【详解】lim??n???n???1?n?limen???n?1?ln???n??e?n?1?lim(?1)nln??n???n?，
?n?1??n?1?nln??0lim(?1)ln 而数列?(?1)n?有界，lim，所以????0. n??n???n??n? 故
?n?1?lim??n???n???1?n?e0?1.
（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，
f??x??ef?x?，
f?2??1，则f????2??2e3.
f??x??ef?x?，两边对x求导得
f???x??ef?x?f?(x)?e2f?x?，
，又
两边再对x求导得 f???(x)?2e故 f???(2)?2e3f?2?2f?x?f?(x)?2e3f?x?f?2??1，
?2e3.
（3）设函数f(u)可微,且
f??0??122,则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分dz2?1,2??4dx?2dy.
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为
?z?x?z?y(1,2)?f?(4x2?y2)?8x(1,2)?4，
??2，
(1,2)?f?(4x2?y2)???2y?(1,2) 所以
dz?1,2???z????x?1,2?dx??z?y?dy??4dx?2dy. ?1,2?? 方法二：对z
?f?4x2?y2?微分得
dz?f?(4x2?y2)d(4x2?y2)?f?(4x2?y2)?8xdx?2ydy?，
考研数学三真题及答案解析
