1、涉及磁场所占空间的极值问题 . 【例1】（1994年全国高考试题）如图1所示，一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。
y y
v M a a
R O′ N
x b x O
O b
图1 图2
【解析】质点在磁场中作半径为R的圆周运动，根据牛顿第二定律，有
v2mvqvB?m?R?
RqB 根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的
1圆周（因为偏转角4等于圆心角），这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如图2所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′ 点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′ 为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：
r?1122mv MN?R2?R2?R?2222qB 所求磁场区域如图2中实线圆所示。
【点评】：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度和出射速度的大小和方向，但由
于有界磁场发生改变（磁感应强度不变，但磁场区域在改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，确定临界状态的粒子运动轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。
综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，
它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在
磁场中偏转的角度（即偏转角）或距离以及运动时间不太难。
2、涉及磁感应强度大小的极值问题 .
-- 【例2】如图3所示，一带电质点质量为1012kg，电荷量为-2×105C，以平行于x轴的速度v=4×105m/s，从y轴上a点射入图中第一象限所示的区域，Oa长为0.2m，为了使质点从x轴上b点以垂直于x轴的速度v射出，Ob长0.3m，可在第一象限内的适当地方加一个垂直于xy平面的、并指向纸里的匀强磁场，问磁场的磁感应强度的最小值是多少？（重力不计）
y y
c（b,a） v v a a x x b O O b d
v 图3 图4
【解析】：因Oa不等于Ob，所以O点不可能是圆弧轨迹的圆心，但过a、b点的速度方向一
定是沿着圆弧轨迹的两条切线方向，过a、b点作沿速度方向的指向相交于c（a，b）点，作∠acb的角平分线相交于x轴上的d（d，0）点，那么在磁场中的粒子轨迹一定是以cd上的点为圆心，以小于或等于bd为半径的圆弧，有多种可能的情况，如图4所示，其中半径最大的圆弧是以d为圆心，以bd为半径的圆弧，此时，有
rmax?bd?Oa?0.2m
mvv2 根据题意知qvB?m，得r?，易知当r有最大值时，B有最小值，得
qBrrmax?mv qBmin 则 Bmin
mv10?12?4?105??T?0.1T . ?5qrmax2?10?0.2
广东省陆河外国语学校高中物理专题六《带电粒子在匀强磁场中的运动的两类基本极值问题》(2课时)教案
