全国百强校河北省衡水中学2017-2024学年下学期高一数学《平面向量基本定理》学案 （无
答案）
2.3.1平面向量基本定理
【学习目标】
（1）应用两个向量共线的充要条件解决问题； （2）掌握平面向量的基本定理；
（3）掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会求始点在原点的向量的坐标 【自学导引】
1. 平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一个平面内两个_____________的向量，a是这个平面内的任一向量，那么有且只有一对实数?1，?2,使________________________。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的基底. 2. 不共线向量的夹角
显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a,b，做
OA?a，OB?b，则__________叫做向量a与b的夹角.如果?AOB??，则?的取值范
围是_____________，当__________时，表示a与b同向；当________时，表示a与b反向. 3. 垂直向量
如果______________，我们就称a与b垂直，记作_____________。 【重点难点】
（1）向量共线的充要条件中注意成立的特殊条件；
（2）实数x1,x2,x3,x4及两个不共线向量e1,e2，若x1e1?x2e2?x3e1?x4e2，则
x1?x3,x2?x4
（3）平面向量的基本定理中，同一平面内的两个向量（基底）是不共线的且这两个向量前面的系数是唯一确定的
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【典型例题】
例1 如图，已知OADB是以OA?a,OB?b为边的平行四边形，又
11ON，MN BM?BC,CN?CD,试以a,b为基底表示OM，33 变式迁移
1. 如图：在?ABC中，D为BC中点，AM?12AB，AN?AC，设AB?a,AC?b 33（1）试用a,b表示MN；
（2）试用a,b表示MD
2.在?ABC中，E，F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设
AB?a,AC?b，试用a,b表示AG
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例2 设两个非零向量a与b不共线
（1）若AB?a?b,BC?2a?8b,CD?3?a?b?. 求证：A,B,D三点共线； （2）试确定实数k，使得ka?b和a?kb 共线. 变式迁移
OD?2DB，DC和OA3.如图所示，已知?AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，
交于点E，设OA?a,OB?b
DC； （1）用a,b表示向量OC、（2）若OE??OA,求实数?的值.
0例3 如图，在平行四边形ABCD中，AB?AD，AB与AD的夹角为60
求（1）BA与BC向量的夹角；
（2）AB与BC的夹角.
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例4 向量OA?a,OB?b，OC?c，求证：
（1）若c?ma?nb且m?n?1，则A,B,C三点共线；
（2）若A,B,C三点共线，则c?ma?nb，且m?n?1 变式迁移
4. 如图，?ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交
11AB、AC于M、N两点，若AM?xAB,AN?yAC，求?的值
xy
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随堂练习
1. 设e1,e2为已知向量，
13??2x?e1?4?e2?x??0，则x等于 48????A. ?4e2?1111e1 B. -4e2?e1 C.4e2?e1 D.4e2?e1 44442. 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是
A. ①② B. ②③ C.①③ D.①②③ 3. 如图，在?ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且
AF1AE等于 ?,连结CF并延长交AB于E，则
FD5EB1111 B. C. D. 123510A.
04. 已知a?b?2,a与b向量的夹角为80，求a?b与b的夹角大大小.
5. 在?OAB中，点C是AB上一点，且表示OC 6.
BC?????0?，若OA?a,OB?b，试用b,aCA5 / 5
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