高中数学必修2知识点
一、直线与方程 (1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线当??0?,90??时,k?0; 当???90?,180??时,k?0; 当??90?时,k不存在。
②过两点的直线的斜率公式:k?y2?y1(x1?x2)
x2?x1的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
?注意下面四点:(1)当x1?x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程
①点斜式:y?y1?k(x?x1)直线斜率k,且过点?x1,y1?
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。 ②斜截式:y?kx?b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:
y?y1x?x1(x1?x2,y1?y2)直线两点?x1,y1?,?x2,y2? ?y2?y1x2?x1④截矩式:?xay?1 b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式:Ax?By?C?0(A,B不全为0) 1各式的适用范围 ○2特殊的方程如: 注意:○
平行于x轴的直线:y?b(b为常数); 平行于y轴的直线:x?a(a为
常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线A0x?B0y?C0?0(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0x?B0y?C?0(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:y?y0?k?x?x0?,直线过定点?x0,y0?;
(ⅱ)过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为
,其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0(?为参数)(6)两直线平行与垂直
当l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2时,
l1//l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2??1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点
l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交
A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ; 方程组有无数解?l1与l2重合 (8)两点间距离公式:设A(x1,y1),(是平面直角坐标系中的两个点, Bx2,y2)则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2
(9)点到直线距离公式:一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离
d?Ax0?By0?CA?B22
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,
定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程?x?a???y?b??r2,圆心?a,b?,半径为r;
22(2)一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0
当D2?E2?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为
r?1D2?E2?4F2?DE???,??2??2,半径为
当D2?E2?4F?0时,表示一个点; 当D2?E2?4F?0时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: (1)设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离为
d?Aa?Bb?CA?B22,则有d?r?l与C相离;d?r?l与C相切;
d?r?l与C相交
(2)设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为?,则有 ??0?l与C相离;??0?l与C相切;??0?l与C相交
2注:如果圆心的位置在原点,可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题,其中?x0,y0?表示切点坐标,r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0?yy0?r2 (课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2,C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当d?R?r时两圆外离,此时有公切线四条;
当d?R?r时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当R?r?d?R?r时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当d?R?r时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当d?R?r时,两圆内含; 当d?0时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱ABCDE?A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母,如五棱柱AD'
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;
侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥P?A'B'C'D'E'
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比
等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的
部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台P?A'B'C'D'E'
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所
围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的
部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h为斜高,l为母线)
S直棱柱侧面积?ch S圆柱侧?2?rh S正棱锥侧面积?1ch'
2S圆锥侧面积??rl
S正棱台侧面积?'S圆柱表?2?r?r?l? S圆锥表??r?r?l? S圆台表???r2?rl?Rl?R2? (3)柱体、锥体、台体的体积公式
1(c1?c2)h' S圆台侧面积?(r?R)?l 2V柱?Sh V圆柱?Sh??r2h V锥?1Sh V圆锥?1?r2h
331'11'22V台?(S'?S'S?S)h V圆台?(S?SS?S)h??(r?rR?R)h
333
(4)球体的表面积和体积公式:V球=4?R3 ; S球面=4?R2
3
4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面
① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。 ③ 点与平面的关系:点A在平面?内,记作A??;点A不在平面?内,记作A??