?x1?a1x2?a12x3?a13，?23?x1?a2x2?a2x3?a2， 四、（本题满分10分）对线性方程组? 23?x1?a3x2?a3x3?a3，23?x?ax?ax?a.142434?(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？
(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0)，且已知方程的两个解
?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T，试给出方程组的通解．
解：（1）因为
1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2?(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a4?a1)(a4?a2)(a4?a3)?0，3a33a4故R(Ab)?R(A)，无解． （2）R(A)?2，n?3，故通解
??2??1????1?,(k?R)．
x?k(ξ2?ξ1)?ξ1?k?0??????2?????1?? 得 分
五、（本题满分8分）设二次曲面的方程axy?2xz?2byz?1）
?x??????Q???，化成?2??2?2?2?1，求a、b的值及a?0经正交变换?y???????z??????正交矩阵Q.
??0?a解：设A???2?1???a?1?2?0b?，由A?E?0,A?2E?0知a?2,b??1．
?b0?????1??0~??01???0??(1,1,0)t，0，?10??011??1??1??1?1当??1时，A?E????1??1?1????2?(1,?1,2)T
?101????(?1,1,1)T. 01?1当???2时，A?2E~???3??000??????故正交阵Q??????1212016?1626?1??3?1?. ?3?1?3??得 分
六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实
特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．
证 ：依题意得Aα=λα， ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT =λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ =λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．
庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。 人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。 我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。 生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。 就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！ 生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。 前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。 我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。 人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。 如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。
选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。 没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。 德国哲学家尼采说：“每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。 时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。 人生忽如寄，生活多苦辛。 短暂的生命旅程， 别辜负时光，别辜负自己。 愿我们每一个人自律、阳光、勤奋， 活成自己喜欢的模样， 活成一束光，
线性代数B期末试卷及答案
