基于自适应差分演化模型误差估计
摘 要
本篇文章讨论热方程的源项识别问题, 这是一个标准在偏微分方程反问题. 利用最小二乘法的思想, 我们把这一问题转化为一个偏微分方程约束优化问题. 为了避免在求解优化问题的过程中使用目标泛函的梯度和偏微分方程的伴随方程, 我们利用了一类智能优化算法: 差分演化算法, 这一类算法只需要运行热传导方程的数值求解过程即可实现源项的最优估计. 数值算例的结果显示, 智能优化算法能够给出的源项的估计，但是精度还有待提高.本文重点介绍如何使用智能算法之一JADE来实现源项的估计。 关键词: 模式误差 差分演化算法 jade
引言
偏微分方程解的适定性概念是Hadamard于上世纪20年代提出的. 这一概念的提出在偏微分方程中起了巨大的推动作用. 但是, 随着人类活动的不断扩展, 人们从生产实践中发现了越来越多的有着重要应用背景和科学价值的问题. 随着实际问题和理论发展的需要, 这些问题已成为数学及其它学科中的一个重要内容. 在偏微分方程反问题研究中, 源项反演问题是一个重要研究领域. 1968年J.R. Cannon就开始了这方面的工作. 在Cannon模型中, 假定源项f(x)与空间位置有关, 并给出了反问题的唯一性. 随后, 许多数学家对这一问题理论分析和数值求解两方面都做了工作. 近期工作中, 理论分析方面, Fang-Fang Dou在[8]中利用
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Fourier正则化方法求解了一个依赖于空间热源, 并某些先验条件下给出了问题最好可能误差界; Gong-Sheng Li在[7]中对于识别一个依赖于空间变量状态变量热源, 即a(x)g(u), 并在a(x)已知的情况下得到了一个条件稳定性结果; D.D. Trong在[6]中讨论了一个识别二维变量分离形式热源, ?(t)f(x,y), 其中?(t)已知, 并得到了显式误差估计; Savateev, E. G.在[4]中对于依赖于空间变量的热源给出了该问题唯一可解; M. Yamamoto在[3]中对于确定?(t)f(x,y)形式, ?(t)已知, 给出了条件稳定性结果; Adrian Farcas and Daniel Lesnic在[10]中利用边界元方法求解了分别依赖于空间变量和时间变量的两类热源问题; 在[14]中Gong-Sheng Li对于对流-色散方程的热源识别问题给出了一个新算法, 并给出了一个选取最优正则化参数的方法； [29]中，L. Yan讨论了将无网格方法应用到源项只与空间变量有关的源项识别。但我们已知的所有讨论源项识别的文献, 所讨论的问题大体上三类, 源项只含空间变量, 源项只含时间变量或源项是变量分离形式, 即f(x)g(t). 而对于更具有实际背景的时空变量的源项，即f(x,t)的情形, 我们掌握的文献中还很少看到对它的研究，只有Y.-J. Ma在12年发表的[31]中讨论了这种情形. 这表明了这个问题还有大量的工作等待处理处理, 并且由于问题更具有复杂性, 从而也就具有更高的挑战性.
同时，在实际问题中有这样一类问题，我们无法计算目标泛函的梯度和偏微分方程的伴随方程，工程领域将这种优化问题称之为黑箱优化。因此，经典的Newton类方法无法用于求解这一类目标泛函的极小。我们在本篇论文中选取了一类智能算法-自适应差分演化算法（JADE）和热传导方程源项识别问题为例对这一类问题进行了求解研究。对于热传导方程的源项识别问题，我们考虑如下优化问题：
1?min??|u(x,T)?ud(x)|2??|E(x,t)|2dxdt E200?(x)是u(x,T)有误差的测量数据。通过数值模拟，结果显示JADE方法确这里udT1实可以得到源项的估计， 但在精度上还有很大的改进空间。同时，由于无法利用目标泛函的梯度，所以算法的执行效率还有待提高。但这一算法的优点在于可以将偏微分方程的处理过程看作一个黑箱，不需要对其进行更多的了解和处理，只需不断的执行偏微分方程的求解过程就可实现优化问题的求解。
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第一章JADE方法的优势
1.1 介绍JADE算法
差分演化算法已经证明了他在解决很多现实优化问题中的优越性。但是，他还是很依赖于参数的设置，比如说变异概率和交叉概率。虽然已有现成推荐取值，但是这些取值和收敛的关系是很复杂的而且还没有被完全研究清楚。这是因为没有一个值适应所有的问题的。即使对于那些在整个过程中都由合适参数的算法，逐个调整和测试参数是一个繁琐的过程。因为这样，一些不同的适应和自适应算法才在最近被介绍进来，它们可以自己动态的调整参数而不是人工来调整。如果这个算法设计的很好，是可以平衡收敛过程中的速度和可靠性。
上面提到的自适应机制可以根据参数的变化方式分为三种参数控制机制。 1．
决定性参数控制机制
参数是由一些决定性因素而决定的，和演化性算法的结果无关。一个经典的例子就是由HOLLAND提出的由时间决定变异几率的算法。 2
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适应性参数控制
这种算法使用演化算法研究结果来动态的改变控制参数。 3 自适应参数控制
这个算法称为演化算法中的演化算法。它被用于参数控制机制的自适应方法。所选的参数直接针对于个体和种群级别，这样使他们可以进行自然选择。更好地参数可以使种群产生更容易存活的个体。从而使种群可以更好地繁衍。
自适应方法已经被证明要比传统的没有参数控制的算法和其他一些适应DE算法更好。人们通过寻找最合适的DE变量然后用这种方法发明了自适应方法。一些传统的方法像DE/rand/1/bin，被认为是非常强大的但是它的收敛能力是非常有限的。自适应方法就是根据这个方法演化而来另外一些自适应算法同时应用了DE/rand/1/bin和一个或者多个贪婪变量如DE/current-to-best,然后测试每一个变量产生后代的概率。
现在还没有一个方法是从贪婪算法中独立发展出来。它是一个在变异问题上使用的是best-so-far 方法。一个贪婪变量通常来说是不可靠的而且可能导致像过早收敛之类的问题。尤其是在解决muti-model问题上。然而， 我们知道自适应不仅对提升收敛速度有帮助，他还能使算法更强大。所以，对于一个自适应DE算法， 算法的稳定性变的不是那么重要了。反而它的快速收敛性变的更加吸引人。
从而，我们介绍一个新的DE变异策略。那就DE/current-to-p-best’, 并且把它变成自适应的基础。JADE，他是从DE/current-to-best演化而来。它不仅使用了最佳结果信息方法，而且还使用了其他优秀结果的信息。它既有贪婪算法的性质而且还使种群多样化。这样可以使种群避免过早收敛。这样一来，算法的速度的可靠性就可以通过自适应参数来提高。
1.2 介绍适应性DE算法
这一部分介绍一些适应性和自适应性DE算法，这些算法都能在微分进化的时候动态控制参数。以后我们要用这些算法和JADE对比学习。 A FADE
这个事模糊微分进化方法，是DE方法的一格延伸。它使用模糊逻辑控制系统去控制Fi和CRi.FADE方法在十个标准问题中的表现都超越了传统DE。 B SaDE
SaDE是通过同时使用两个变异策略DE/rand/1和DE/current-to-best/2。他通过总结50代成功繁殖的后代的例子来调整产生后代的可能性。这种方法可以进化成更合适的方法通过针对每一步变异。 C JDE
JDE是根据DE/rand/1/bin产生的，jDE在进化过程中使人口固定。初始化过程将
Fi=0.5和CRi=0.9赋给每个值。不像SaDE方法那样随机取Fi和通过成功经验来
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更新CRi，jDE通过均匀分布产生Fi和CRi。更好的值能产生出生存力强的个体，新产生的好的取值可以用于下一代。
JADE算法。JADE应用一种新的变异算法DE/current-to-p-best”然后控制F和CR通过自适应参数?F和 ?CR 。JADE，像DE一样，使用二进制交叉和一对一选择的方法。
A DE/current-to-p-best
DE/rand/1 is 是从DE发展而来的第一个变异策略。而且是公认的最成功的应用最广泛的。然而， DE/best/2相对于 DE/best/1可能有一些优势。而且DE/best/2正好弥补了DE/best/1的一些致命的缺点。相比DE/rand/k,像DE/current-to-p-best 和DE/best/k这样的贪婪算法通常更快的收敛速度。但是，他们在实际问题的应用中还存在很多问题像过早收敛和种群多样性的降低。鉴于快速但是不可靠的收敛性质，一个新的变异方法JADE诞生了。在JADE中，变异向量是根据下面的方法计算的
pvi,g?xi,g?Fi(xbest,g?xi,g)?Fi*(xr1,g?xr2,g) （10） pxbest,g是从100p%中均匀的挑选出来的
DE/current-to-best是在DE/current-to-best基础上的改进。100p%中的每一个都可以被随机选择。选择出来的个体都可以被设计成DE/current-to-best的最佳选择。 B Self-adaptation of?F
在每一代g中，每一个个体xi的变异因子Fi是根据分布rand(0, 1.2) 和rand(?F,0.1)的平均值，标准差和截断值决定的 randi(0,1.2) ifi?I1/3
Fi?
randni(?F,0.1) otherwise
I1/3表示从set{1,2,……NP}中随机产生1的数。SF代表在g代成功变异的集合。
平均数?F更新为?F?(1?c)?F?c*L(SF) C 算法设置的解释
UCR的自适应是根据下面的原则的
更好地控制参数更有可能产生存活率高的个体。基本原理是记录下成功交配的个体，然后以这些为参考产生未来的CRi.标准误差被设置城比较小的数的原因是为
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基于自适应差分演化模型误差估计
