2024届高考数学(理)一轮复习学案：第2章函数第7节对数与对数函数

第七节 对数与对数函数

[最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握1

对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一

2类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

必备知识填充

1．对数的概念

如果a＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①alogNxxa＝N；②logaa＝b(a＞0，且a≠1)．

b(2)换底公式：

logcblogab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

logca(3)对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图像与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 nMNa＞1 图像 0＜a＜1 定义 性质 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 定义域：(0，＋∞) 值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数 4．反函数 指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

[常用结论]

1．换底公式的两个重要结论

1nmn(1)loga b＝；(2)logab＝loga b.

logb am其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0. 2．对数函数的图像与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

x当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数

自我检测

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x＝2log2x.( )

1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )

1－x2

?1?(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，?，－1?，函a?

?

数图像不在第二、三象限．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编

1．(log29)·(log34)＝( ) 1

A． 4C．2

1

B． 2D．4

lg 9lg 42lg 32lg 2

D [(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]

lg 2lg 3lg 2lg 3

11

，b＝log2，c＝log，则( )

33

B．a＞c＞b D．c＞a＞b

1

＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.] 3

2．已知a＝2A．a＞b＞c C．c＞b＞a

D [因为0＜a＜1，b＜0，c＝log3．函数y＝

log

2x－1的定义域是________．

?1，1? ?2???

[由log(2x－1)≥0， 得0＜2x－1≤1. 1

∴＜x≤1. 2∴函数y＝

log

2x－1的

?1?定义域是?，1?.] ?2?

4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________． (3,1) [当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图像恒过点(3,1)．]

课堂考点探究

考点1 对数式的化简与求值

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

11ab 1.设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )

abA．10 B．10