第七节 对数与对数函数
[最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握1
对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图像.3.体会对数函数是一
2类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
必备知识填充
1.对数的概念
如果a=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质: ①alogNxxa=N;②logaa=b(a>0,且a≠1).
b(2)换底公式:
logcblogab=(a,c均大于0且不等于1,b>0).
logca(3)对数的运算性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaM=nlogaM(n∈R). 3.对数函数的定义、图像与性质 定义 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数 nMNa>1 图像 0<a<1 定义 性质 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数 定义域:(0,+∞) 值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0) 当0<x<1时,y<0; 当x>1时,y>0 在(0,+∞)上为增函数 4.反函数 指数函数y=a(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.
[常用结论]
1.换底公式的两个重要结论
1nmn(1)loga b=;(2)logab=loga b.
logb am其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,m≠0. 2.对数函数的图像与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
x当0<x<1时,y>0; 当x>1时,y<0 在(0,+∞)上为减函数
自我检测
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=log2(x+1)是对数函数.( ) (2)log2x=2log2x.( )
1+x(3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
1-x2
?1?(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),?,-1?,函a?
?
数图像不在第二、三象限.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1.(log29)·(log34)=( ) 1
A. 4C.2
1
B. 2D.4
lg 9lg 42lg 32lg 2
D [(log29)·(log34)=×=×=4.故选D.]
lg 2lg 3lg 2lg 3
11
,b=log2,c=log,则( )
33
B.a>c>b D.c>a>b
1
=log2 3>1.所以c>a>b.故选D.] 3
2.已知a=2A.a>b>c C.c>b>a
D [因为0<a<1,b<0,c=log3.函数y=
log
2x-1的定义域是________.
?1,1? ?2???
[由log(2x-1)≥0, 得0<2x-1≤1. 1
∴<x≤1. 2∴函数y=
log
2x-1的
?1?定义域是?,1?.] ?2?
4.函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图像恒过点________. (3,1) [当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1. 所以函数的图像恒过点(3,1).]
课堂考点探究
考点1 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
11ab 1.设2=5=m,且+=2,则m等于( )
abA.10 B.10
2021届高考数学(理)一轮复习学案:第2章函数第7节对数与对数函数
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