第三章
例1判断下列线性方程组是否有解？如有解，是否有唯 一的一组解？
r Xj +2工2 —3工3十工』=1
[X] + X2+ M + XJ = 0 '
解方程组的系数矩阵
<1 2 -3 n
显然A有一-2阶子式
J =—1HO,因上匕 r(/4) = 2,
fl 2 =3 1 r
增广矩阵
1 1 0；
显然F(/1)=2,因此该方程组有解.但方程组的耒如数个 数为4、因此应有无穷多组解.
第一节
例2 判定下列线性考程组是否有解？
-3X, + X2 + 4XJ = -1
X1 + X2+ Xj= 0
<
—2 X| 十 Xi = — 1 X1 + X2- 2x3= 0
解利用初等变换法求増广矩阵/(的秩.
J3
0 GF
0 1 -1 1 -2 0
丿 <1 1 1 0、 0 2 3 -1 2忙 0 4 7 -1 <0 0—3 0> (P
0 4 7 0 2 3
lo 0 -3 ?丿
1 1 1 (P ‘111 『 0 2 3 -1 0 2 3 -1 0 0 11 0 0 11 <0 0 -3 0> 』0 0 3因此/■\= 3,尸(/) = 4-由于F(/h 故原方程组无解?
rrmn
-3 I 4 -1 -2 0 1 -1 111-2 0丿
例3求解齐次线性方程组2 X] + 2*2 + 2心+ *4 = 0 1X\\ + x^-lx^- 2X4 = 0- I - *2 - 4X3- 3X4 = 0 2 2 1 -6 -3 -4 -6 -4 丿 -3 几 0 -2 -5/3 ] 4/3 0 1 2 4/3 0丿 0丿 lo 0 0 _ 2*3 _ (5/3)X4 = O 即傅与原方程组同解的方程组 ) X2+ 2*3+ (4/3)兀4 =0 由此得 \\兀1-2尤3 + (5/3)X4 2 2 n*2r, 1 -2 --2 --- > 1 -4 -3丿 「3 ■解对系数矩阵A施行初等行变换. (X3, X4可任意取值). X2= -2x3- (4/3)心 令*3 = Cl 9尤4 = C2，把它写成向量形式为
X1
,心)
(5/3)
-2 + -4/3 ? 它表达了方程组的全部解? 1
< 1丿 1 0
< 2]
'X1 + 5X2- X1 - 2*2+ 工3 例4解线性方程组 3X1 + 8x2- X,- 9X2 +3*3 —— —1 + 3*4 = 3 1 + 7X4= 7 Z 13 3
+ 兀4 = 13 13/7 : 3/7
,即严厂产一严 回代 -2/7 13/7)
0 -4/7 i-4/7 1 乂2“扌+討+討 0 0 : 0 取X3 = C,, X4 = C2(CI ,C2为任意常数)，则方程组的全部解为
解 对增广矩阵(/ b)施以初等行变换，化为阶梯形矩阵: (/ b)=
(1 5 -1 -1 -1> 1 -2 1 3 3 3 8 -1 1 1 u -9 3 7 7
fl 5 -1 -1 -1)
0 -7 2 4 0 -7 2 4 lo -14 4 8
4 4 8
r(A b) = r(A) = 2<4,故方程组有无穷多解?利用上式回代
(1 5 -1 -1 : -n 0 -7 2 4 4 0 0 0 0 0 lo 0 0 0 0
(1 5 -1 -1 :-1、 0 1 -2/7 -4/7 ：-4/7 0 0 0 0 :0 1 0 0 0 0 :0丿
13 ?
5—13 3_
4丄2介丄4
,心=一亍千'七斤5.
X3 = Ci
X4 = C2
例5解线性方程组 X| + X2 + 2X3 + 3X4 = 1 X2+ 心 一 4*4 = 1 X| + 2X2 + 3X3 - “4 = 4 2x| + 3x2 — 心一 X4 =-6 <1 1 2 3 :1A 0 1 1 -4 1 0 1 1 -4 :3 <0 1 -5 -7 ；一8 3 ； 0 1 1 -4 ; 1 0 0 6 3 : 9 ^0 0 0 0 ； 2丿 〔112 解(A b)=
(1 1 2 3 :1} 0 1 1 -4 :1 i 1 2 3 -1 :4 (2 3 -1 -1 :-6 ) (1 1 2 3 i 1、 0 1 1 -4 ： 1 0000:2 0 0 -6 -3 ! -9丿 为 r(A)=3^ 所以原方程组无解? r{A Z>) = 4, r(A b) ^r(A)^ Xi-X2 = ai *2-*3 = ?2 兀3 — *4 =
例6证明方程组
43 心一尤5=?4
有解的充要条件是
兀5一兀1 =\
心+^2+43+04+
7进行初等变换：
0 0 0 -1
-r(A) = r(A)
(1 -1 0 -0 0 0 0 0
1 -1 0 0 1 0 0 “2
0 0 1 -1 0 -1 0 ^3
---- T 0 0 0 1 -1 U
1 0 1 05丿 0 0 0 0 0
心 ^2
心 口4
5
5
V
/7|丿
z Q产 O
5 /=1
???方程组有解的充要条件是L?/=Oe 在有解的1青况下，原方程组等价于方程组
在有解的情况下,原方程组等价于方程组<
X\\ = 0} + 02 +03+04+心
故所求全部解
X|-X2 = fli 尤2_ *3 = “2 X3-X4M3 *4-*5 = “4
(心为任恵实数)?
X2 = ff2 + ?3 + 44+工5
*3 = \+ ?4+ 心 X4=
X1 + X2+ 2x3 + 3心=1
X1 + 3*2 + 6*3 + *4=3
例7讨论线性方程组 <
3X1 - X2- PX3 + 15X4 =3 9
X| -5X2-10X3 + 12X4=/ 当PJ 取何值
时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在 方程组希无穷多解的情况下,求出全部
P 1 2 3 ;1) 1 3 6 1 :3
3 3 -1 -P 15 1!
11-5 -10 12 ! J
f 1 1
/
1 1 2 3 : 1 ) 0 2 4 -2 : 2
1 0 -4 -p-6 6 : 0
0 -6 -12 9：/-1
2
0 1 2 0 0 -P + 2 1 0 0 0
3 : 1 ) -1 : 1 2 : 4 3 : / + 5
丿
解.
(2)当p = 2时，有 0 -8 ) X| = — 8
0 2 = 3< r(fi) 3 = 4,方程组无解当『Hl时，r(A) ; 尤解B = .兀2 + 20 r(fl)=3,2 方程组有无穷多当f lo = l时,0r(A)=: 兀4= 2 3=3, 0 3 : 1 >0< 1 1 2 <112 3 : n ____ Jbfiti _ 丿 01 2 -1 : 1 0 1 2 -1 ： 1 B
-0 0 0 1 : 2 --- > 0 0 0 1 : 2 > 0 0 0 0 : Z-< <000 0 ： 0丿
(1)当pH2时，r(/I) = r(fi) = 4,方程组有唯一解；
广东海洋大学线性代数课件例题(第三章)
