第六章 定积分应用测试题A卷
一、填空题（20分） 1、定积分
a20
??a2?x2??a?x??dx表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程??dm?q?t?，则从时刻t1到t2此物dt是 .
2、设一放射性物质的质量为m?m?t?，其衰变速度质分解的质量用定积分表示为 .
3、抛物线y?3?2x?x与Ox轴所围成图形的面积 . 4、由极坐标方程
2??????所确定的曲线及???,????????所围扇形的面积
为 . 二、选择题（20分）
1、曲线y?lnx,y?lna,y?lnb(0?a?b)及y轴所围图形的面积A，则A? [ ]
（A）（C）
?lnxdx; （B）?aexdx; lnaelnblnaxlnbeb?edy; （D）?blnxdx.
eyea2、曲线y?e下方与该曲线过原点的切线左方及y轴右方所围成的图形面积A? [ ].
（A）（C）
?10e?ex?ex?dx; （B）??lny?ylny?dy;
1xe??e1120?ex?dx; （D）??lny?ylny?dy.
0213、曲线y?ln(1?x)上0?x?1一段弧长s? [ ]. 2（A）
?1121?x221?()dx; （B）?dx; 2201?x1?x（C）
?12012?2x22??1?dx; （D）1?ln(1?x)?0??dx. 1?x2
4、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F?[ ].
（A）（C）
ha?0hahdh; （B）?ahdh;
0h1ahdh; （D）?2ahdh.
02?0三、解答题
1、（10分）求曲线y?(4?x)与纵轴所围成图形的面积.
2、（10分）求由圆x?(y?5)?16绕x轴旋转而成的环体的体积.
3、（10分）试证曲线y?sinx(0?x?2?)的弧长等于椭圆x?2y?2的周长. 4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？
5、（20分）设直线y?ax与抛物线y?x所围成图形的面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2.并且a?1.如图6.25.
（1） 试确定a的值，使S1?S2达到最小，并
求出最小值；
2222223Y y?x2S2 y?ax S1 A 图6.25 1 X （2） 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
第六章 定积分应用测试题B卷
一、填空题（20分）
x22,x?y2?8所围图形面积A（上半平面部分）1、求曲线y?，则A? . 22、曲线r?3cos?,r?1?cos?所围图形面积A? . 3、求曲线??x?t?sint,从t?0到t??一段弧长s? .
?y?1?cost,4、曲线xy?a?a?0?,与直线x?a,x?2a,及y?0所围成的图形绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积V? . 二、选择题（20分） 1、曲线y?1,y?x,x?2所围图形的面积为A，则A? [ ] x2121（A）?(?x)dx; （B）?(x?)dx;
llxx（C）
?2l22211(2?)dy??(2?y)dy; （D）?(2?)dx??(2?x)dx.
lllyx2、摆线???x?a?t?sint?,?a?0?一拱与x轴所围成的图形绕x轴旋转的旋转体体积V?
y?a1?cost,????[ ]
（A）（C）
?2?0?a?1?cost?dt; （B）?2222?a0?a2?1?cost?d??a?t?sint???;
2?a22?2?02?a2?1?cost?d?at?sint?a?; （D）???1?cost?dt. ???0
?x?acos3t3、星形线?的全长s? [ ] 3y?asint??（A）4（C）2??20sect?3acos2t??sint?dt; （B）4??sect?3acos2t??sint?dt;
20?0sect?3acos2t??sint?dt; （D）2?sect?3acos2t??sint?dt.
?04、半径为a的半球形容器，每秒灌水b，水深h?0?h?a?，则水面上升速度是[ ]
dh2dh?22?dy; ; （B）?ydy?a?y?a?????dh0dh0?dh2dh2（C）b; （D）?ydyb(2ay?y)dy.
dh?0dh?0（A）三、解答题
1、（13分）由两条抛物线y?x,y?x所围成的图形.
（1）计算所围成图形的面积A；
（2）将此图形绕x轴旋转，计算旋转体的体积.
2、（15分）由曲线y?3x，直线x?2及x轴所围图形记作D， （1）求D绕y轴旋转所得旋转体的体积； （2）求D绕直线x?3旋转所得旋转体的体积；
（3）求以D为底且每个与x轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.
23、（12分）曲线r?4cos2?与x轴在第一象限内所围图形记作D，试在曲线
222r2?4cos2?上求一点M，使直线OM把D分成面积相等的两部分.
4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为a,b的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c处，试求观察窗所受的水压力.
5.(10分)求曲线y?x?2x，y?0，x?1，x?3所围成的平面图形的面积S，并求
2 该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A卷答案
一、填空题
1、上半圆y?a2?x2，直线y?a?x和直线x?2、
a； 2?t2t1q?t?dt； 3、
321?；4、??2???d?. 32?二、选择题
1、C; 2、A; 3、B； 4、A. 三、解答题
1、先求交点，令x?0得y?64，故y1??8,y2?8，及曲线与纵轴交点为?0,?8?,?0,8?.
2又x?4?y，所以S?233xdy?(4?y)dy?25. ??8??8588232、因为y?5?16?x2,而?4?x?4，所求环体体积是由半圆y?5?16?x2,与半圆y?5?16?x2绕x轴旋转生成的旋转体体积之差，即
V???[(5?16?x2)2?(5?16?x2)2]dx?160?2.
?44x2?y2?1，则其参数方程为 3、因为椭圆方程为x?2y?2，即222??x?2cost?0?t?2??， ???y?sint由椭圆关于x,y轴的对称性，所以周长
?0?0
s1?4?22sin2t?cos2tdt?4?21?sin2tdt.
而曲线y?sinx(0?x?2?)的弧长
?? s2?4故s1?s2.
?201?y?d?4?220??1?cosxdxx??t 4?21?sin2tdt.
0224、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：
h22h32????(1?z)dz????(h?),
0333其中h为球心向上移动距离（0?h?1），故将球从水中取出所作的功为
?2h3?21113W??????(h?)?dh????(?)??.
033?321212?15、解（1）当0?a?1时（如图一）
S?S1?S2???ax?x2?dx???x2?ax?dx
0aa1ax2x3ax3ax2?)0?(?) ?(2332令 S??a2?1aa2a1???. 32311?1?，又S????0，得a??2?0, ?22?2?则S?1112?2?1??1?是极小值及最小值.其值为 S????. ???6?2?62223?2?0212a3a1??， 当a?0时，S?S1?S2???ax?x?dx???x?ax?dx?a0623a211S??????(a2?1)?0，
2221S单调减少，故a?0时，S取得最小值，此时S?.
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