江西省上饶市六校2020届高三下学期第一次联考数学(文)试题及参考答案

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若A、B为曲线C上的两点，且?AOB?23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|2x?1|?|x?1|． （1）求不等式f(x)?x?2的解集；

?3，求|OA|?|OB|的最大值．

（2）若函数y?f(x)的最小值记为m，设a?0,b?0，且有a?b?m．求

12?的最小值． a?1b?2上饶市2020届六校高三第一次联考

数学答案（文科）

一、选择题（12×5=60分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 A 二、填空题（4×5=20分）

13．x?y?1?0 14．2 15．

34 16． 45三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设等差数列?an?的公差为d，

5?4?5a?d?35?1由题意，?，解得：a1?3，d?2． 22?4d?d?2a1?d??∴an?3?2(n?1)?2n?1； （2）∵bn?111?11?????? anan?1(2n?1)(2n?3)2?2n?12n?3?∴Tn?1?111111?111n?????????? ??2?35572n?12n?3?232n?36n?918．（1）证明：∵?CBD?90?，∴CB?BD，

又平面SBDI平面ABCD?BD，平面SBD?平面ABCD， 故CB?平面SBD；

又SD?平面SBD，故CB?DS； 又四边形STDB为菱形，∴DS?BT ∴DS?平面TBC （2）∵SBSTD?2S△BDS?2?13?2?2??3 22∴VABCDTS?VA?BSTD?VC?BSTD??1?26?2 ???3?3?22?19．（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为

1?(0.003?0.004?0.005?0.006)?50?0.1

因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为0.05 （2）列联表如下： 空气质量优、良 空气质量污染 合计 90 35 125 2限行前 90 限行后 55 合计 145 180 90 270 270?(90?35?90?55)2?2.979?2.706， 由表中数据可得K?180?90?145?125所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关． 20．解：（1）抛物线C的准线方程为x?p?p?，焦点F?,0? 2?2?当P的横坐标为1时，|PF|?23p3 ∴1??，解得p?1 222∴抛物线C的方程为y?2x

（2）由直线l的方程为x?ky?m与抛物线C:y?2x联立， 消去x得：y?2ky?2m?0，则y1y2??2m，y1?y2?2k，

22x1?ky1?m，x2?ky2?m，

111111?????， 2222222222|AM||BM|?x1?m??y1?x2?m??y2?k?1?y1?k?1?y2

2y1?y2??2y1y2?y12?y24k2?4mk2?m，对任意k?R恒为定值， ?2??2?22222222?k?1?y1y2?k?1?y1y2?k?1??4m?k?1??m2当m?1，此时

11??1．∴m?1，满足题意．

|AM|2|BM|221．（1）F(x)?12ax?(a?1)x?lnx， 21(ax?1)(x?1)?(x?0) xxF?(x)?ax?a?1?①当a?0时，F?(x)?0，所以F(x)在(0,??)上单调递减； ②当a?0时，可知F(x)在?0,

?

?

1??1?,??上单调递减，在???上单调递增．

a??a?x（2）不等式h(x)?f(x)对任意x?(0,??)恒成立，即mxe?1?lnx?x恒成立， 因为x?0，所以m?lnx?x?1

xex令G(x)?lnx?x?1 xxeG?(x)?(x?1)(?lnx?x)

x2ex1?1?0． x?1??e?1?0，p(1)??1?0， e令p(x)??lnx?x，p?(x)??故p(x)在(0,??)上单调递减，且p???1?故存在x0??,1?使得p?x0???lnx0?x0?0， 即lnx0?x0?0即x0?e?x0?1??e?，

当x??0,x0?时，p(x)?0，G?(x)?0； 当x??x0,???，p(x)?0G?(x)?0； 所以G(x)max?G?x0??lnx0?x0?11??1

x0ex0e?x0?ex0

故实数m的取值范围是m?1．

22．解（1）C:??2cos?，l:x?3y?3?0 （2）不妨设|OA|?|2cos?|，|OB|?2cos???????? 3?则|OA|?|OB|?|2cos?|?|2cos??????????|?2cos??2cos?????

3??3??????23sin?????23 3??∴|OA|?|OB|的最大值为23 ???3x,x??1,?1?23．解（1）因为f?x??|2x?1|?|x?1|???x?2,?1?x?,

2?1?3x,x?.??2从图可知满足不等式f?x??x?2的解集为[0,1]．

（2）由图可知函数y?f(x)的最小值为

33，即m?． 22所以a?b?39，从而a?1?b?2?， 22从而

1222?2??b?22(a?1)???1??[(a?1)?(b?2)]??????3???? a?1b?29a?1b?29a?1b?2??????2b?22(a?1)6?42…[3?2?]?． 9a?1b?29

当且仅当

b?22(a?1)时，等号成立， ?a?1b?2∴

126?42?的最小值为．

9a?1b?2