同类题练习4-等差数列和等比数列的综合类型压轴题
【例题1】对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为的二阶差分数列，其中 数列的通项公式，试判断，是否为等差数列，请说明理由？ 数列是公比为的正项等比数列，且，对于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值构成的集合； 各项均为正数的数列的前项和为，且，对满足，的任意正整数、、，都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．
【例题2】已知正项数列
和
的前项和
满足
，数列
满足
，
分别求出数列的通项公式；
若数列满足为非零常数，问是否存在整数，使得对任意，都有； 在数列的任意相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列
，求数列
的前
项的和．
的数列
满足
满足如下条件：①
，其中
，，
；，
【例题3】已知项数为②
若数列
，则称为的“心灵契合数列”．
Ⅰ数列，，，，是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列”；若不存在，请说明理由； Ⅱ若为的“心灵契合数列”，判断数列的单调性，并予以证明； Ⅲ已知数列存在“心灵契合数列”，且，，求的最大值．
【例题4】设数列任意项都不为零的前项和为，首项为，对于任意，满足
．
求数列的通项公式； 是否存在，，等差数列？若存在，试求设数列
，
，使得，，成等比数列，且的值；若不存在，请说明理由；
，若由
，，成
的前项依次构成的数列是单
调递增数列，求正整数的最大值．
【例题5】已知数列求设
中，，前项和为为等差数列；
，其中
，且，，成等差数列；
的值，并证明数列
，试问是否存在正整数使，，成等比数列？若
存在，求出所有满足条件的数组
【例题6】定义：若无穷数列“数列”设数列中若，且数列是“设数列
的前项和为
；若不存在，说明理由．
满足是公比为的等比数列，则称数列
，． 数列”，求数列的通项公式；
，请判断数列
是否为“
为
，且数
列”，并说明理由； 若数列
是“
数列”，是否存在正整数
，使得
？若存在，请
求出所有满足条件的正整数
，；若不存在，请说明理由．
，的前项和为，数列对任意的恒成立．
为等比数列，
【例题7】已知数列为等差数列，
且
求数列、的通项公式；
是否存在非零整数
，使不等式
对一切
都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例题8】设数列的前项和为求证：数列为等比数列； 若数列①求证：数列
满足：
，
为等差数列，并求出
，已知
，
．
的通项公式；
②是否存在正整数，使得明理由．
【例题9】已知数列的前项和求数列的通项公式；
记
，
成立？若存在，求出所以的值；若不存在，请说
满足．
是数列的前项和，若对任意的，不等式
都成立，求实数的取值范围；
记
，是否存在互不相等的正整数
，使
成等差数列，且
，
，
成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的
；如果不存在，请说明理由．
【例题10】已知数列，若对任意的，，，存在正数使得则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为． 若数列是等差数列且公差为，前项和记为． ①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数 ②数列是否具有守恒性质？并说明理由． 若首项为且公比不为的正项等比数列合．
【例题11】已知数列求： 数列若当
的前项的和
，且
，等差数列
的公差为
具有守恒性质，且
，
，求公比值的集
的通项公式；
，且不等式，且
对一切恒成立，求的取值范围；
成立的自然数
时，是否存在正整数使不等式
恰有个？若存在求出的值；若不存在，请说明理由。
【例题12】已知等比数列
满足
．
求数列的通项公式； 在与之间插入个数连同等差数列． ①设
，求数列
的前和
；
与按原顺序组成一个公差为的
②在数列中是否存在三项其中成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．
【例题13】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列，，经过第次拓展得到数列，，；经过第次拓展得到数列，，，，设数列，，经过第次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为． 求，，； 若，求的最小值； 是否存在实数，，，使得数列为等比数列若存在，求，，满足的条件；若不存在，请说明理由．
【例题14】定义：若对任意，数列为“完全平方数列”；特别的，若存在则称数列为“部分平方数列”． 若
，求证：
的前项和
，使得数列都为完全平方数，则称数列的前项和为完全平方数，
为部分平方数列；
若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由；
试求所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．
【例题15】已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．
若数列若数列若数列
通项为
，求证：
； ，求，数列
的取值范围；
中是否存在无穷多项依次成等差数
是等差数列，且的各项均为正数，且
列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．
【例题16】对数列，若存在，使得数列为单调递增数列，则称数列“具有性质”． 设等差数列的前项和为，且满足，，试判断数列是否“具有性质”，并说明理由； 设数列是首项为，公比为的正项等比数列． ①若数列“具有性质”，求的取值范围； ②设数列
满足
，
，
证明：当
时，数列
“具有性
质”．
【例题17】对于，若数列满足，则称这个数列为“型数列”． 已知数列：，，是“型数列”，求实数的取值范围； 是否存在首项为的等差数列为“型数列”且其前项和满足
？若存在，求出
已知各项均为整数的等比数列
试判断数列
是否为“
的通项公式；若不存在，说明理由； 为“
型数列”，数列
不是“
型数列”，若
型数列”，并说明理由．
同类题练习4-等差数列和等比数列的综合类型压轴题
【例题1解答】解：所以因此又因为又因为
因为数列又因为
，
对于任意的所以对于任意的即又因为当解得即当
当解得即当
当
因此对于任意的
． ，所以
时，则舍去或
时，则舍去或时，对于任意的时，则
，都存在
，使得
，
，都有
， ， ，都有
， ． ． ．
．
时，对于任意的
，即
，即
．
，
，都存在
，都存在
，使得
，使得
，
，
，所以数列
，所以数列
是公比为的正项等比数列，所以
因为
，
， ．
是首项为，公差为
的等差数列．
，公差为．
的等差数列．
是首项为
综上所述，所有可能的取值构成的集合为
因为所以
，
即设数列若若
的公差为，则，则当
；
时，
，
．
，
，
，所以数列，则，
是等差数列．
．
这与数列各项均为正数矛盾，因此
由等差数列的前项和公式得因此
同类题练习4-等差数列和等比数列的综合型问题压轴(含答案)
