高等数学基础第二次作业
第3章 导数与微分
（一）单项选择题 ⒈设f(0)?0且极限limf(x)xx?0存在，则limf(x)x?（ B ）．
x?0 A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0 ⒉设f(x)在x0可导，则limf(x0?2h)?f(x0)2h A. ?2f?(x0) B. f?(x0)
h?0?（ D ）．
C. 2f?(x0) D. ?f?(x0) ⒊设f(x)?ex，则limf(1??x)?f(1)?x14?x?0?（ A ）．
A. e B. 2e C.
12e D.
e
⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（ D ）． A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（ C ）．
A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． ⒍当x?0时，变量（ C ）是无穷小量． A.
sinxx1x B.
1x
C. xsin D. ln(x?2)
⒎若函数f(x)在点x0满足（ A ），则f(x)在点x0连续。
A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义
x?x0 C. limf(x)?f(x0) D. limf(x)?limf(x)
x?x0?x?x0?x?x0?
（二）填空题
1?2,x?0?xsin ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 无穷小量 ． x?0,x?0?f(0??x)??lim解： f?(0)?x?0?xf(0)??x?12(?x)sin??xlim0?x0???x?xlim0?x1?sin
0
这里用到：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。
⒉设f(ex)?e2x?5ex，则
df(lnx)dx22lnx?5??
1x .
解： 令ex?t,令t?lnx,故
df(lnx)dx有f(t)?t?5t,
2
有f(lnx)?lnx?5lnx,
2df(lnx)d(lnx)d(lnx?5lnx)d(lnx)1????(2lnx?5)? ?d(lnx)dxd(lnx)dxxx?1在(1,2)处的切线斜率是 ．
⒊曲线f(x)? ⒋曲线f(x)?sinx在(π4,1)处的切线方程是 ．
⒌设y?x2x，则y?? ．
⒍设y?xlnx，则y??? ． （三）计算题
⒈求下列函数的导数y?： ⑴y?(xx?3)ex 解： 由导数四则运算法则
3x2x3 y??((xx?3)e)??(x?3)?e?(x2?3)(ex)?
3x3 ?((x2)??(3)?)e?(x2?3)ex ?321x3xx2e?(x2?3)e2?(3213xx2?x2?3)e
⑵y?cotx?xlnx
解： 由导数四则运算法则
22 y??(cotx?xlnx)??(cotx)??(xlnx)? ?? ??⑶y?x21sinx1sin22?(x)?lnx?x(lnx)? ?2xlnx?x?2221xx??1sin2x?2xlnx?x
lnx
解： 由导数四则运算法则
222x(x)?lnx?x(lnx)?)?? y??( 2lnxlnx2xlnx?x?21x?2xlnx?xln2 ?⑷y?
lnx2xx
cosx?2x3
解： 由导数四则运算法则 y??( ? ? ?⑸y?cosx?2x3x)??x(cosx?2)?x?(cosx?2)(x)?x326xx3x3
((coxs)??(2)?)x?3x(cosx?2)xx632x
(?sinx?2ln2)x?3x(cosx?2)xx6x?xsinx?x2ln2?3cosx?3?2x24
sinx解： 由导数四则运算法则 y??( ?lnx?xsinx2lnx?x)??2(lnx?x)?sinx?(lnx?x)(sinx)?sin2222x
((lnx)??(x)?)sinx?(lnx?x)cosxsinx(1x?2x)sinx?(lnx?x)cosxsinx2222
? ?4
3sinx?2xsinx?xcosxlnx?xcosxxsinx2
⑹y?x?sinxlnx
解： 由导数四则运算法则
y??(x4?sinxlnx)??(x4)??(sinxlnx)? ?4x3?((sinx)?lnx?sinx(lnx)?) ?4x?(coslnx?sinx?⑺y?sinx?x3x231x)?4x?coslnx?3sinxx
解： 由导数四则运算法则 y??( ? ? ?xsinx?x3x2)??2(sinx?x)?3?(sinx?x)(3)?(3)x2x22xx2x2x2x
((sinx)??(x)?)3?(sinx?x)3ln3(3)xxx
(cosx?2x)3?3sinxln3?x3ln3(3)x2cosx?2x?sinxln3?xln332
⑻y?etanx?lnx 解： 由导数四则运算法则
y??(etanx?lnx)??(etanx)??(lnx)?
xx
?(ex)?tanx?ex(tanx)?? ?etanx?e? ⒉求下列函数的导数y?： ⑴y?e1?x21x
xxx1cosx2?1x?etanx?ex2cosx?1x
21?x，v?1?x，则有
解： 设u?2 y?eu， u?由复合函数求导法则
v， v?1?x2
u2??uv??v??? y??yu?(e)?(v)?(1?x)?x xuvu ?e?12v?(?2x)??xe1?x2
21?x⑵y?lncosx3
解： 设u?cosx3，v?x3，则有
y?lnu， u?cosv， v?x3 由复合函数求导法则
3??uv??v??(lnu)??(cosv)??(x)?x y??yuxuv ?⑶y?x1ux?(?sinv)??3xx
2??3x2sinxcosx33??3xtanx
23112123212123127127解： y? y??⑷y?3xxx?(x(x?x))78x?182?(x(x))?(x?x)4?(x)4?x8
x?x
x，则有
x
解： 设u?x? y?3u， u?x?由复合函数求导法则
??uv??(3u)? y??yu?(x?ux)?x
x)?2323 ?213ux?(1?12x)?13(x?(1?12x)
⑸y?cose
解： 设u?cose，v?e，则有
2x y?u， u?cosv， v?e 由复合函数求导法则
2x??uv??v??(u)??(cosv)??(e)?x y??yuxuvxx ?2u?(?sinv)??e??2esinecose??esin2e ⑹y?cosex2xxxxxx
x2解： 设u?e
，v?x，则有
2
y?cosu， u?ev， v?x2 由复合函数求导法则
v2??uv??v? y??yu?(cosu)??(e)??(x)?x xuv ??sinu?ev?2x??2xexsinex
⑺y?sinnxcosnx 解： 由导数四则运算法则 y??(sinn22xcosnx)??(sinnx)?cosnx?sinnx(cosnx)?
设u?sinx，v?nx，则有
sinnx?un， cosnx?cosv 由复合函数求导法则
y??(sinnxcosnx)??(sinnx)?cosnx?sin ?(un)?u?(sinx)?xcosnx?sin ?nu⑻y?5sinx2nx(cosnx)?
nx(cosv)??(nx)?x vnn?1cosxcosnx?sinnx(?sinv)?n
?nsin
n?1xcosxcosnx?nsinxsinnx
解： 设u?sinx2，v?x2，则有
y?5u， u?sinv， v?x2 由复合函数求导法则
u2??uv??v??(5)??(sinv)??(x)?x y??yuxuv ?5ln5?cosv?2x?2x5⑼y?esin2usinx2ln5cosx
2x
解： 设u?sin2x，v?sinx，则有
y?eu， u?v2， v?sinx 由复合函数求导法则
u2??uv??v??(e)??(v)??(sinx)?x y??yuxuv ?e?2v?cosx?2e⑽y?xx?ex 解： y?xx2usinx2sinxcosx?esinx2sin2x
22?e2x2?ex2lnxx2?e2x2?exlnx2?ex2
由导数四则运算法则 y??(ex2lnx?e)??(exlnx)??(ex2)?
设u?xlnx，v?x，由复合函数求导法则
u2v2 y??(e)?u?(xlnx)?x?(e)?v?(x)?x
2 ?e(2xlnx?x)?e?2x ?x⑾y?xexuvx2(2xlnx?x)?2xexx2
?eexe
ex解： y?x?ex?eexlnxex?exex?eelnxx?eex
由导数四则运算法则
e y??(exlnxe?e)??(exlnxe)??(e)?
x设u?elnx，v?e，由复合函数求导法则
y??(eu)?u?(exlnx)?x?(ev)?v?(ex)?x ?e(elnx?exuxexvx)?e?e xexex ⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?：
?x(elnx?x)?ee
xx⑴ycosx?e2y
解法1： 等式两端对x求导
左?(ycosx)??y?cosx?y(cosx)? ?y?cosx?ysinx 右?(e2y)?x?(e2y)?y?y??2e2yy?
由此得
y?cosx?ysinx?2e2yy? 整理得 y??ysinxcosx?2e2y
解法2： 等式两端求微分
左?d(ycosx)?cosxdy?yd(cosx) ?cosxdy?ysinxdx
右?d(e2y)?e2yd(2y)?2e2ydy 由此得
cosxdy?ysinxdx?2e2ydy 整理得 dy?得 y??ysinx2yysinxcosx?2e2ydx
cosx?2e⑵y?cosylnx
解法1： 等式两端对x求导 左?y?
右?(cosylnx)??(cosy)?xlnx?cosy(lnx)? ?(cosy)?y?y?lnx?cosy?由此得
y???lnxsiny?y??整理得 y??cosyx?xlnxsinycosyx1x??lnxsiny?y??cosyx
解法2： 等式两端求微分 左?dy
右?d(cosylnx)?lnxd(cosy)?cosyd(lnx)
??sinylnxdy?由此得
dy??sinylnxdy?整理得 dy?得 y??cosyx?xlnxsinyx2cosyxdx
cosyxdx
cosyx?xlnxsinydx
⑶2xsiny?y
解法1： 等式两端对x求导
左?(2xsiny)??(2x)?siny?2x(siny)?x
?2siny?2x(siny)?y?y??2siny?2xcosy?y? 右?(由此得
2siny?2xcosy?y??整理得 y??2xy?2ysiny2xycosy?x222x2y)??(x)?y?xy?y222?2xy?xy?y222
2xy?xy?y2
解法2： 等式两端求微分
左?d(2xsiny)?sinyd(2x)?2xd(siny) ?2sinydx?2xcosydy 右?d(由此得
2sinydx?2xcosydy?整理得 dy?得 y??2xy?2ysiny2xycosy?x222x2y)?ydx?xdyy222?2xydx?xdyy222
2xydx?xdyy2
2xy?2ysiny2xycosy?x222dx
⑷y?x?lny
解法1： 等式两端对x求导 左?y?
右?(x?lny)??(x)??(lny)?x ?1?(lny)?y?y??1?由此得 y??1?整理得 y??yy?11yy?
1yy?
解法2： 等式两端求微分 左?dy
右?d(x?lny)?dx?d(lny)?dx?由此得 dy?dx?整理得 dy?得 y??yy?1yy?1dx 1ydy
1ydy
⑸lnx?ey?y2
解法1： 等式两端对x求导
yy 左?(lnx?e)??(lnx)??(e)?x
?1x?(e)?y?y??y1x?ey?
y22 右?(y)?x?(y)?y?y??2y?y?
由此得
1x?ey??2y?y?
y整理得 y??12xy?xey
解法2： 等式两端求微分
左?d(lnx?e)?d(lnx)?d(e) ?1xdx?edy
2yyyy 右?d(y)?e由此得
1xd(2y)?2e2ydy
dx?edy?2ydy
y
整理得 dy?得 y??12xy?xey12xy?xeydx
⑹y2?1?exsiny 解法1： 等式两端对x求导
左?(y?1)?x?(y?1)?y?y??2y?y? 右?(exsiny)??(ex)?siny?ex(siny)?x
?esiny?e(siny)?y?y??esiny?ecosy?y? 由此得
2y?y??exsiny?excosy?y? 整理得 y??esiny2y?ecosyxx22xxxx
解法2： 等式两端求微分
左?d(y2?1)?d(y2)?d(1) ?2ydy
右?d(exsiny)?sinyd(ex)?exd(siny) ?exsinydx?excosydy 由此得
2ydy?exsinydx?excosydy 整理得 dy?得 y??yxesiny2y?ecosyesiny2y?ecosy3xxdx
xx
⑺e?e?y
解法1： 等式两端对x求导
yyy 左?(e)?x?(e)?y?y??ey?
x3x3 右?(e?y)??(e)??(y)?x
x3x2 ?e?(y)?y?y??e?3yy?
由此得
ey??e?3yy? 整理得 y??eyx2yx2e?3y
解法2： 等式两端求微分
左?d(ey)?eydy
右?d(ex?y3)?d(ex)?d(y3) ?exdx?3y2dy 由此得
eydy?exdx?3y2dy 整理得 dy?得 y??eyx2eyx2e?3ydx
e?3y
⑻y?5x?2y
解法1： 等式两端对x求导 左?y?
右?(5x?2y)??(5x)??(2y)?x
?5ln5?(2)?y?y??5ln5?2ln2?y? 由此得
y??5xln5?2yln2?y? 整理得 y??5ln5yxxyxy1?2ln2解法2： 等式两端求微分 左?dy
右?d(5x?2y)?d(5x)?d(2y) ?5ln5dx?2ln2dy 由此得
dy?5ln5dx?2ln2dy 整理得 dy?得 y?? y1?2ln2⒋求下列函数的微分dy：
⑴y?cotx?cosx
解： dy?d(cotx?cosx)?d(cotx)?d(cosx) ??⑵y?lnxsinx1sinx2xyxydx
1?2ln2y5ln5x5ln5xdx?sinxdx??(1sinx2?sinx)dx
解： dy?d(lnxsinx)?sinxd(lnx)?lnxd(sinx)sin2x
sinx ?⑶y?arcsinxdx?lnxcosxdxsin2x?sinx?xlnxcosxxsinx2dx
1?x1?x 1?x1?x)?1?(11?x)2解： dy?d(arcsind(1?x1?x)
?1?(11?x1?x11?x1?x11?x1?x)21?x(1?x)d(1?x)?(1?x)d(1?x)(1?x)2
?1?(?(1?x)dx?(1?x)dx)2(1?x)?22
?1?()2(1?x)2dx??(1?x)221?(1?x1?x)2dx
⑷y?31?x1?x 1?x1?x)?d(2解： dy?d(31?x1?x1)311?x?31?x?()d() 31?x1?x211?x?3(1?x)d(1?x)?(1?x)d(1?x) ?( )231?x(1?x)11?x?3?(1?x)dx?(1?x)dx ?( )?231?x(1?x)11?x?3?2?()?dx?? 231?x(1?x)2223(1?x)23(1?x1?xdx )2⑸y?sin2e
2xx解： dy?d(sinxe)?2sined(sine)
xxxxx ?2sinecosed(e)
?2esinecosedx?esin2edx ⑹y?tanex3xxxx
x3解： dy?d(tane)? ?ex231cose2x3d(ex3)
cosex3d(x)
3
2x3 ?3xe2cosex3dx
⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?xlnx
解： 由导数四则运算法则
y??(xlnx)??(x)?lnx?x(lnx)? ?lnx?x??lnx?1 x y???(lnx?1)??(lnx)??(1)?
1 ?1x⑵y?xsinx
?0?1x
解： 由导数四则运算法则
y??(xsinx)??(x)?sinx?x(sinx)? ?sinx?xcosx
y???(sinx?xcosx)??(sinx)??(xcosx)? ?cosx?(x)?cosx?x(cosx)? ?cosx?cosx?xsinx?2cosx?xsinx ⑶y?arctanx 解： y??(arctanx)??由导数四则运算法则 y???( ?⑷y?3x
解： 由复合函数求导法则和导数四则运算法则 y??(3x)??3xln3(x2)??2x3xln3 y???(2x3xln3)??((2x)?3x?2x(3x)?)ln3 ?(2?3x?2x?2x3xln3)ln3 ?2?3xln3?2x23xln23
（四）证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是可导的奇函数，所以对任意x有 f(?x)??f(x)
上式两端对x求导
左?(f(?x))?x?(f(?x))??x?(?x)???f?(?x) 右?(?f(x))???f?(x) 由此得
?f?(?x)??f?(x) 即
2222222222211?x2
11?x2)??(1)?(1?x)?(1?x)?(1?x)222222
0?((1)??(x)?)(1?x)2??2x(1?x)22
f?(?x)?f?(x)
由定义可知f?(x)是偶函数。
高等数学基础第二次作业有答案
