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高等数学基础第二次作业有答案

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高等数学基础第二次作业

第3章 导数与微分

(一)单项选择题 ⒈设f(0)?0且极限limf(x)xx?0存在,则limf(x)x?( B ).

x?0 A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0 ⒉设f(x)在x0可导,则limf(x0?2h)?f(x0)2h A. ?2f?(x0) B. f?(x0)

h?0?( D ).

C. 2f?(x0) D. ?f?(x0) ⒊设f(x)?ex,则limf(1??x)?f(1)?x14?x?0?( A ).

A. e B. 2e C.

12e D.

e

⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99),则f?(0)?( D ). A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是( C ).

A. 若f(x)在点x0有极限,则在点x0可导. B. 若f(x)在点x0连续,则在点x0可导. C. 若f(x)在点x0可导,则在点x0有极限. D. 若f(x)在点x0有极限,则在点x0连续. ⒍当x?0时,变量( C )是无穷小量. A.

sinxx1x B.

1x

C. xsin D. ln(x?2)

⒎若函数f(x)在点x0满足( A ),则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

x?x0 C. limf(x)?f(x0) D. limf(x)?limf(x)

x?x0?x?x0?x?x0?

(二)填空题

1?2,x?0?xsin ⒈设函数f(x)??,则f?(0)? 无穷小量 . x?0,x?0?f(0??x)??lim解: f?(0)?x?0?xf(0)??x?12(?x)sin??xlim0?x0???x?xlim0?x1?sin

0

这里用到:无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。

⒉设f(ex)?e2x?5ex,则

df(lnx)dx22lnx?5??

1x .

解: 令ex?t,令t?lnx,故

df(lnx)dx有f(t)?t?5t,

2

有f(lnx)?lnx?5lnx,

2df(lnx)d(lnx)d(lnx?5lnx)d(lnx)1????(2lnx?5)? ?d(lnx)dxd(lnx)dxxx?1在(1,2)处的切线斜率是 .

⒊曲线f(x)? ⒋曲线f(x)?sinx在(π4,1)处的切线方程是 .

⒌设y?x2x,则y?? .

⒍设y?xlnx,则y??? . (三)计算题

⒈求下列函数的导数y?: ⑴y?(xx?3)ex 解: 由导数四则运算法则

3x2x3 y??((xx?3)e)??(x?3)?e?(x2?3)(ex)?

3x3 ?((x2)??(3)?)e?(x2?3)ex ?321x3xx2e?(x2?3)e2?(3213xx2?x2?3)e

⑵y?cotx?xlnx

解: 由导数四则运算法则

22 y??(cotx?xlnx)??(cotx)??(xlnx)? ?? ??⑶y?x21sinx1sin22?(x)?lnx?x(lnx)? ?2xlnx?x?2221xx??1sin2x?2xlnx?x

lnx

解: 由导数四则运算法则

222x(x)?lnx?x(lnx)?)?? y??( 2lnxlnx2xlnx?x?21x?2xlnx?xln2 ?⑷y?

lnx2xx

cosx?2x3

解: 由导数四则运算法则 y??( ? ? ?⑸y?cosx?2x3x)??x(cosx?2)?x?(cosx?2)(x)?x326xx3x3

((coxs)??(2)?)x?3x(cosx?2)xx632x

(?sinx?2ln2)x?3x(cosx?2)xx6x?xsinx?x2ln2?3cosx?3?2x24

sinx解: 由导数四则运算法则 y??( ?lnx?xsinx2lnx?x)??2(lnx?x)?sinx?(lnx?x)(sinx)?sin2222x

((lnx)??(x)?)sinx?(lnx?x)cosxsinx(1x?2x)sinx?(lnx?x)cosxsinx2222

? ?4

3sinx?2xsinx?xcosxlnx?xcosxxsinx2

⑹y?x?sinxlnx

解: 由导数四则运算法则

y??(x4?sinxlnx)??(x4)??(sinxlnx)? ?4x3?((sinx)?lnx?sinx(lnx)?) ?4x?(coslnx?sinx?⑺y?sinx?x3x231x)?4x?coslnx?3sinxx

解: 由导数四则运算法则 y??( ? ? ?xsinx?x3x2)??2(sinx?x)?3?(sinx?x)(3)?(3)x2x22xx2x2x2x

((sinx)??(x)?)3?(sinx?x)3ln3(3)xxx

(cosx?2x)3?3sinxln3?x3ln3(3)x2cosx?2x?sinxln3?xln332

⑻y?etanx?lnx 解: 由导数四则运算法则

y??(etanx?lnx)??(etanx)??(lnx)?

xx

?(ex)?tanx?ex(tanx)?? ?etanx?e? ⒉求下列函数的导数y?: ⑴y?e1?x21x

xxx1cosx2?1x?etanx?ex2cosx?1x

21?x,v?1?x,则有

解: 设u?2 y?eu, u?由复合函数求导法则

v, v?1?x2

u2??uv??v??? y??yu?(e)?(v)?(1?x)?x xuvu ?e?12v?(?2x)??xe1?x2

21?x⑵y?lncosx3

解: 设u?cosx3,v?x3,则有

y?lnu, u?cosv, v?x3 由复合函数求导法则

3??uv??v??(lnu)??(cosv)??(x)?x y??yuxuv ?⑶y?x1ux?(?sinv)??3xx

2??3x2sinxcosx33??3xtanx

23112123212123127127解: y? y??⑷y?3xxx?(x(x?x))78x?182?(x(x))?(x?x)4?(x)4?x8

x?x

x,则有

x

解: 设u?x? y?3u, u?x?由复合函数求导法则

??uv??(3u)? y??yu?(x?ux)?x

x)?2323 ?213ux?(1?12x)?13(x?(1?12x)

⑸y?cose

解: 设u?cose,v?e,则有

2x y?u, u?cosv, v?e 由复合函数求导法则

2x??uv??v??(u)??(cosv)??(e)?x y??yuxuvxx ?2u?(?sinv)??e??2esinecose??esin2e ⑹y?cosex2xxxxxx

x2解: 设u?e

,v?x,则有

2

y?cosu, u?ev, v?x2 由复合函数求导法则

v2??uv??v? y??yu?(cosu)??(e)??(x)?x xuv ??sinu?ev?2x??2xexsinex

⑺y?sinnxcosnx 解: 由导数四则运算法则 y??(sinn22xcosnx)??(sinnx)?cosnx?sinnx(cosnx)?

设u?sinx,v?nx,则有

sinnx?un, cosnx?cosv 由复合函数求导法则

y??(sinnxcosnx)??(sinnx)?cosnx?sin ?(un)?u?(sinx)?xcosnx?sin ?nu⑻y?5sinx2nx(cosnx)?

nx(cosv)??(nx)?x vnn?1cosxcosnx?sinnx(?sinv)?n

?nsin

n?1xcosxcosnx?nsinxsinnx

解: 设u?sinx2,v?x2,则有

y?5u, u?sinv, v?x2 由复合函数求导法则

u2??uv??v??(5)??(sinv)??(x)?x y??yuxuv ?5ln5?cosv?2x?2x5⑼y?esin2usinx2ln5cosx

2x

解: 设u?sin2x,v?sinx,则有

y?eu, u?v2, v?sinx 由复合函数求导法则

u2??uv??v??(e)??(v)??(sinx)?x y??yuxuv ?e?2v?cosx?2e⑽y?xx?ex 解: y?xx2usinx2sinxcosx?esinx2sin2x

22?e2x2?ex2lnxx2?e2x2?exlnx2?ex2

由导数四则运算法则 y??(ex2lnx?e)??(exlnx)??(ex2)?

设u?xlnx,v?x,由复合函数求导法则

u2v2 y??(e)?u?(xlnx)?x?(e)?v?(x)?x

2 ?e(2xlnx?x)?e?2x ?x⑾y?xexuvx2(2xlnx?x)?2xexx2

?eexe

ex解: y?x?ex?eexlnxex?exex?eelnxx?eex

由导数四则运算法则

e y??(exlnxe?e)??(exlnxe)??(e)?

x设u?elnx,v?e,由复合函数求导法则

y??(eu)?u?(exlnx)?x?(ev)?v?(ex)?x ?e(elnx?exuxexvx)?e?e xexex ⒊在下列方程中,y?y(x)是由方程确定的函数,求y?:

?x(elnx?x)?ee

xx⑴ycosx?e2y

解法1: 等式两端对x求导

左?(ycosx)??y?cosx?y(cosx)? ?y?cosx?ysinx 右?(e2y)?x?(e2y)?y?y??2e2yy?

由此得

y?cosx?ysinx?2e2yy? 整理得 y??ysinxcosx?2e2y

解法2: 等式两端求微分

左?d(ycosx)?cosxdy?yd(cosx) ?cosxdy?ysinxdx

右?d(e2y)?e2yd(2y)?2e2ydy 由此得

cosxdy?ysinxdx?2e2ydy 整理得 dy?得 y??ysinx2yysinxcosx?2e2ydx

cosx?2e⑵y?cosylnx

解法1: 等式两端对x求导 左?y?

右?(cosylnx)??(cosy)?xlnx?cosy(lnx)? ?(cosy)?y?y?lnx?cosy?由此得

y???lnxsiny?y??整理得 y??cosyx?xlnxsinycosyx1x??lnxsiny?y??cosyx

解法2: 等式两端求微分 左?dy

右?d(cosylnx)?lnxd(cosy)?cosyd(lnx)

??sinylnxdy?由此得

dy??sinylnxdy?整理得 dy?得 y??cosyx?xlnxsinyx2cosyxdx

cosyxdx

cosyx?xlnxsinydx

⑶2xsiny?y

解法1: 等式两端对x求导

左?(2xsiny)??(2x)?siny?2x(siny)?x

?2siny?2x(siny)?y?y??2siny?2xcosy?y? 右?(由此得

2siny?2xcosy?y??整理得 y??2xy?2ysiny2xycosy?x222x2y)??(x)?y?xy?y222?2xy?xy?y222

2xy?xy?y2

解法2: 等式两端求微分

左?d(2xsiny)?sinyd(2x)?2xd(siny) ?2sinydx?2xcosydy 右?d(由此得

2sinydx?2xcosydy?整理得 dy?得 y??2xy?2ysiny2xycosy?x222x2y)?ydx?xdyy222?2xydx?xdyy222

2xydx?xdyy2

2xy?2ysiny2xycosy?x222dx

⑷y?x?lny

解法1: 等式两端对x求导 左?y?

右?(x?lny)??(x)??(lny)?x ?1?(lny)?y?y??1?由此得 y??1?整理得 y??yy?11yy?

1yy?

解法2: 等式两端求微分 左?dy

右?d(x?lny)?dx?d(lny)?dx?由此得 dy?dx?整理得 dy?得 y??yy?1yy?1dx 1ydy

1ydy

⑸lnx?ey?y2

解法1: 等式两端对x求导

yy 左?(lnx?e)??(lnx)??(e)?x

?1x?(e)?y?y??y1x?ey?

y22 右?(y)?x?(y)?y?y??2y?y?

由此得

1x?ey??2y?y?

y整理得 y??12xy?xey

解法2: 等式两端求微分

左?d(lnx?e)?d(lnx)?d(e) ?1xdx?edy

2yyyy 右?d(y)?e由此得

1xd(2y)?2e2ydy

dx?edy?2ydy

y

整理得 dy?得 y??12xy?xey12xy?xeydx

⑹y2?1?exsiny 解法1: 等式两端对x求导

左?(y?1)?x?(y?1)?y?y??2y?y? 右?(exsiny)??(ex)?siny?ex(siny)?x

?esiny?e(siny)?y?y??esiny?ecosy?y? 由此得

2y?y??exsiny?excosy?y? 整理得 y??esiny2y?ecosyxx22xxxx

解法2: 等式两端求微分

左?d(y2?1)?d(y2)?d(1) ?2ydy

右?d(exsiny)?sinyd(ex)?exd(siny) ?exsinydx?excosydy 由此得

2ydy?exsinydx?excosydy 整理得 dy?得 y??yxesiny2y?ecosyesiny2y?ecosy3xxdx

xx

⑺e?e?y

解法1: 等式两端对x求导

yyy 左?(e)?x?(e)?y?y??ey?

x3x3 右?(e?y)??(e)??(y)?x

x3x2 ?e?(y)?y?y??e?3yy?

由此得

ey??e?3yy? 整理得 y??eyx2yx2e?3y

解法2: 等式两端求微分

左?d(ey)?eydy

右?d(ex?y3)?d(ex)?d(y3) ?exdx?3y2dy 由此得

eydy?exdx?3y2dy 整理得 dy?得 y??eyx2eyx2e?3ydx

e?3y

⑻y?5x?2y

解法1: 等式两端对x求导 左?y?

右?(5x?2y)??(5x)??(2y)?x

?5ln5?(2)?y?y??5ln5?2ln2?y? 由此得

y??5xln5?2yln2?y? 整理得 y??5ln5yxxyxy1?2ln2解法2: 等式两端求微分 左?dy

右?d(5x?2y)?d(5x)?d(2y) ?5ln5dx?2ln2dy 由此得

dy?5ln5dx?2ln2dy 整理得 dy?得 y?? y1?2ln2⒋求下列函数的微分dy:

⑴y?cotx?cosx

解: dy?d(cotx?cosx)?d(cotx)?d(cosx) ??⑵y?lnxsinx1sinx2xyxydx

1?2ln2y5ln5x5ln5xdx?sinxdx??(1sinx2?sinx)dx

解: dy?d(lnxsinx)?sinxd(lnx)?lnxd(sinx)sin2x

sinx ?⑶y?arcsinxdx?lnxcosxdxsin2x?sinx?xlnxcosxxsinx2dx

1?x1?x 1?x1?x)?1?(11?x)2解: dy?d(arcsind(1?x1?x)

?1?(11?x1?x11?x1?x11?x1?x)21?x(1?x)d(1?x)?(1?x)d(1?x)(1?x)2

?1?(?(1?x)dx?(1?x)dx)2(1?x)?22

?1?()2(1?x)2dx??(1?x)221?(1?x1?x)2dx

⑷y?31?x1?x 1?x1?x)?d(2解: dy?d(31?x1?x1)311?x?31?x?()d() 31?x1?x211?x?3(1?x)d(1?x)?(1?x)d(1?x) ?( )231?x(1?x)11?x?3?(1?x)dx?(1?x)dx ?( )?231?x(1?x)11?x?3?2?()?dx?? 231?x(1?x)2223(1?x)23(1?x1?xdx )2⑸y?sin2e

2xx解: dy?d(sinxe)?2sined(sine)

xxxxx ?2sinecosed(e)

?2esinecosedx?esin2edx ⑹y?tanex3xxxx

x3解: dy?d(tane)? ?ex231cose2x3d(ex3)

cosex3d(x)

3

2x3 ?3xe2cosex3dx

⒌求下列函数的二阶导数: ⑴y?xlnx

解: 由导数四则运算法则

y??(xlnx)??(x)?lnx?x(lnx)? ?lnx?x??lnx?1 x y???(lnx?1)??(lnx)??(1)?

1 ?1x⑵y?xsinx

?0?1x

解: 由导数四则运算法则

y??(xsinx)??(x)?sinx?x(sinx)? ?sinx?xcosx

y???(sinx?xcosx)??(sinx)??(xcosx)? ?cosx?(x)?cosx?x(cosx)? ?cosx?cosx?xsinx?2cosx?xsinx ⑶y?arctanx 解: y??(arctanx)??由导数四则运算法则 y???( ?⑷y?3x

解: 由复合函数求导法则和导数四则运算法则 y??(3x)??3xln3(x2)??2x3xln3 y???(2x3xln3)??((2x)?3x?2x(3x)?)ln3 ?(2?3x?2x?2x3xln3)ln3 ?2?3xln3?2x23xln23

(四)证明题

设f(x)是可导的奇函数,试证f?(x)是偶函数. 证:因为f(x)是可导的奇函数,所以对任意x有 f(?x)??f(x)

上式两端对x求导

左?(f(?x))?x?(f(?x))??x?(?x)???f?(?x) 右?(?f(x))???f?(x) 由此得

?f?(?x)??f?(x) 即

2222222222211?x2

11?x2)??(1)?(1?x)?(1?x)?(1?x)222222

0?((1)??(x)?)(1?x)2??2x(1?x)22

f?(?x)?f?(x)

由定义可知f?(x)是偶函数。

高等数学基础第二次作业有答案

高等数学基础第二次作业第3章导数与微分(一)单项选择题⒈设f(0)?0且极限limf(x)xx?0存在,则limf(x)x?(B).x?0A.f(0)B.f?(0)C.f?(x)D.0⒉
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