中考数学创新题 -------折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题,学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题. 一、折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC.BD为折痕,则∠CBD的度数为（ ）
A、600 B、750 C、900 D、950
【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′
的位置,若∠EFB＝65°,则∠AED′等于（ ）
A、50° B、55° C、60° D、65° 答案：
【3】 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图（1）所示,然
后轻轻拉紧.压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ,其中∠ＢＡＣ＝ 度.
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
1
答案： 二、折叠后求面积
第3题图
B A
E C D 图 （2）
图（1）
【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落
在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为（ ） A、4 B、6 C、8 D、10
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
2
【5】如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E.F分别是AB.BC的
中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是
A、2 B、4 C、8 D、10
【6】如图a,ABCD是一矩形纸片,AB＝6cm,AD＝8cm,E是AD上一点,
且AE＝6cm。操作：
（1）将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c。则△GFC的面积是（ ）
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
3
A E D A B D B D A
G B F 图a
C
F 图b
第6题图
C
F
C 图c
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
三、折叠后求长度
【7】如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且ED?BC,则CE的长是（ ）
（A）103?15 （B）10?53 A （C）53?5 （D）20?103
B F D 第7题图
C E
四、折叠后得图形
【8】将一张矩形纸对折再对折（如图）,然后沿着图中的虚线剪下,得到①.②两部分,将①展开后得到的平面图形是（ ）
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
4
第8题图
A、矩形 B、三角形 C、梯形 D、菱形
【9】在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【10】小强拿了张正方形的纸如图（1）,沿虚线对折一次如图（2）,再对折一次得图（3）,然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角,再打开后的形状应是( )
第10题图 第9题图
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
5
【11】如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN（图甲）,再把B点叠在折痕MN上的B'处。得到Rt?AB'E（图乙）,再延长EB'交AD于F,所得到的?EAF是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
【12】将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是（ ）
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
6
图1
ABCD图3第12题图
【13】如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是（ ）
【14】 如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
五、折叠后得结论
【15】亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
7
第14题
折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
第15题图
【16】如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则?A与?1??2 之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是（ ） A. ?A??1??2 B. 2?A??1??2 C. 3?A?2?1??2 D. 3?A?2(?1??2)
【17】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是（
A.a2 – b2 =(a +b)(a -b) Ｂ.(a – b)2 = a2 –2ab+ b2
Ｃ.(a + b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a +b) 【18】如图,一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm,宽BC＝b cm,E.F分别是AB.CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a∶b等于
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
8
（ ）、
A、2:1 B、1:2 C、3:1 D、1:3
DMCEG
六、折叠和剪切的应用
AFB第19题图
【19】将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G（如图）. （1）如果M为CD边的中点,求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关,请说明理由.
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
9
【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
A M D
E A
M
B
图1
C B
图2
C
图3
第21题图
图4
【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
10
两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3.图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角
形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米.b厘米,且a.b恰好是关于x的方程x2?(m?1)x?m?1?0的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
11
【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片,叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片,需要长.宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
12
【23】在一张长12cm.宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖
同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一）,张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）,请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大？
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
13
A E B H D G A F D
C F （方案一）
第23题图
B C E （方案二）
【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
第24题图（1）
仿上面图示的方法,及韦达下列问题： 操作设计：
（1）如图（2）,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
14
（2）如图（3）对于任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个原三角形等面积的矩形。
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
15
第24题图（2） 第24题图（3）
【25】如图,⊙O表示一圆形纸板,根据要求,需通过多次剪裁,把它剪成若干个扇形面,操作过程如下：第1次剪裁,将圆形纸板
第25题图
O
等分为4个扇形；第2次剪裁,将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在⊙O中,用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹,不写作法).
(2)请你通过操作和猜想,将第3.第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 所得扇形的总个数(S) 1 2 3 4 … n 4 7 … (3)请你推断,能不能按上述操作过程,将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
16
【26】如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形
面积的59,请说明理由(写出证明及计算过
程).
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题 17
1. 答案：C 2. 答案：A 3. 答案：36° 4. 答案：C 5. 答案：B 6. 答案：B 7. 答案：D 8. 答案：D 9. 答案：D 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
答案：D 答案：B 答案：C 答案：C 答案：D 答案：180 答案：B
17. 答案：A 18. 19.
答案：A
答案：（1）先求出DE=3AD,DM?1AD,EM?5AD后证之.
828（2）注意到△DEM∽△CMG,求出△CMG的周长等于4a,从而它与
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
18
点M在CD边上的位置无关. 20. 21.
E
B
答案：2∶1. 答案：（1）如图 A
M
E
A
M
图3
C
第21题答案图
B
图4
C
（2）由题可知AB＝CD＝AE,又BC＝BE＝AB＋AE
∴BC＝2AB, 即b?2a 由题意知 ∴??a,2a是方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根
a?2a?m?1
a?2a?m?1?
消去a,得 解得
2m2?13m?7?0
m?7或m??12
222经检验：由于当m??1,a?2a??3?0,知m??1不符合题意,
舍去.
m?7符合题意.
∴S矩形?ab?m?1?8
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
22.答案：可以切割出66个小正方形。
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
19
方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内,如图中矩形ABCD。
∵AB＝1 BC＝10
22∴对角线AC＝100＋1＝101＜10.05 （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正
方形。
EABFHDCG
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形
222EFGH,矩形EFGH的长为9,高为3,对角线EG?9?3?81?9?902＜10.05。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为： 102?32?100?9?109＞10.052
222（3）同理：8?5?64?25?89＜10.05
222 9?5?81?25?106＞10.05
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,
那么现在小正方形已有了5层。
（4）再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个。
222∵7?7?49?49?98＜10.05
82?72?64?49?113＞10.052 （5）在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看成是9,这两层,每排可以是4个但不能是5个。
222∵4?9?16?81?97＜10.05 52?92?25?81?106＞10.052
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
20
现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm 的空间,因为矩形ABCD的位置不能调整,故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：
学生也可能按下面的方法排列,只要说理清楚,评分标准参
考方法一。
可以按9个正方形排成一排,叠4层,先放入圆内,然后： （1）上下再加一层,每层8个,现在共有6层。
（2）在前面的基础上,上下各加6个,现在共有8层。 （3）最后上下还可加一层,但每层只能是一个,共10层。这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个） 23. 答案：（方案一）
S菱形?S矩形?4SAEH
?12?5?4?15
2?6?2 ?30(cm2) （方案二）
设BE=x,则CE=12-x
?AE?BE2?AB2?25?x2 由AECF是菱形,则AE2=CE2
?25?x2?(12?x)2
?x?11924 S菱形=S矩形?2SABE
?12?5?2?11192?5?24 第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
21
?35.21(m)
比较可知,方案二张丰同学所折的菱形面积较大
方法一： 方法二：
24. 答案：（1）
第24题答案图（1） 第24题答案图（2）
（2）略。
25. 答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.
(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,…时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形.
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
22
26. 答案：剪法是：当AA1=BB1=CC1=DD1=1或233时,
四边形A1B1C1D1为正方形,且S=59. 在正方形ABCD中, AB=BC=CD=DA=1, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA1=BB1=CC1=DD1, ∴A1B=B1C=C1D=D1A.
∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1. ∴D1A1=A1B1=B1C1=C1D1,
∴∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1. ∴∠AA1D+∠BA1B1=90°,即∠D1A1B1=90°. ∴四边形A1B1C1D1为正方形.设AA1=x, 则AD1=1－x.
∵正方形A1B1C1D1的面积=59, ∴S1△AA1D1=9 即112x(1－x)=9,
整理得9x2－9x+2=0.
解得x1=1,x2=233.
当AA1=123时,AD1=3,
第 页 共 24 页 中考数学创新题---折叠剪切问题
23
当AA1=时,AD1=.
∴当AA1=BB1=CC1=DD1=或时,
四边形A1B1C1D1仍为正方形且面积是原面积的.
513232313第 页 共 24 页 9
---折叠剪切问题
24
中考数学创新题
中考数学创新题集锦（含答案）
