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第一章 绪论
1.1研究误差的意义
1.1.1研究误差的意义为：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或减小误差
2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念
1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差 1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度
1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1.3.2精度可分为：
1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度
3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算
1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 1.4.4数据运算规则：
1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准
2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。
第二章 误差的基本性质与处理
2.1随机误差
2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）人员方面的因素。 2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。
2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。
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2.1.4算术平均值：在系列测量中，被测量的n个测得值的代数和除以n而得到的值称为算术平均值。 2.1.5残余误差：一般情况下，被测量的真值为未知，可用算术平均值代替被测量的真值进行计算：
?i?li?x , υ为l的残余误差。
i
i
2.1.6算术平均值的计算校核：算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。其规则为
1）残余误差代数和应符合： 当
?li?1nni?nx，求得的x为非凑整的准确数时，??i为零；
i?1nn当
?l?nx，求得的x为凑整的非准确数时，??ii?1ni?1ni为正，其大小为求x是的余数；
当
?l?nx，求得的x为凑整的非准确数时，??ii?1i?1i为负，其大小为求x是的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n为偶数时，
??i?i?1ni?1nnA； 2?n?2??当n为奇数时，
??i???0.5?A。
2.1.7测量的标准差：测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。
2.1.8单次测量的标准差σ是表征同一被测量的n次测量的测得值的分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。
2.1.9在等精度测量列中单次测量的标准差按下式计算：????i?1n2in
2.1.10贝塞尔公式：????i?1n2in-1据此式可由残余误差求的单次测量的标准差的估计值。
2.1.11评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差??23??i?1n2in-1和平均误差??45??i?1n2in-1。
2.1.12算术平均值的标准差?x是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。
2.1.13在n此测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的愈大时，测量精度越高。 2.1.14标准差的其他计算方法：
1n，当测量次数n
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1）别捷尔斯法 ??1.253?2）极差法 ?n??i?1ni
n?n-1??xmax-xmin ???n
dn3）最大误差法 ??iKmax'n
2.1.16极限误差：测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不超过该极端误差的概率为P。 2.1.17单次测量的极限误差：?limx??t?x。
??t?x；t分布：?limx??ta?x。
2.1.18算术平均值的极限误差：正态分布：?limx2.1.19不等精度测量：不同的测量条件、不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数和不同的测量者。 2.1.20权：各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即为权。
2.1.21单位权化：使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列。
2.1.22随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、x分布、t分布、F分布等。
2.2系统误差
2.2.1系统误差的产生原因：系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。这些因素可以是1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）测量方法的因素 4）人员方面的因素。
2.2.2系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。
2.2.3系统误差的种类：不变的系统误差，线性变化的系统误差，周期性变化的系统误差。 2.2.4系统误差的发现： 单次测量 实验对比法 改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，用于发现不变的系统误差 多次测量 计算数据比较法 若xi?xj?2?i2??2j，则两组结果之间不存在系统误差 残余误差观察法 根据测量列残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或曲线图形来判断系统误差，用于发现有规律变化的系统误差 秩和检验法 t检验将独立测得的两组数据，混合后按大小顺序重新排列，取测量次数较少的一组，数出它的测得值混合后的次序，相加的秩和T。查表判断是否存在系统误差。 残余误差校核马利科夫准则 用于发现线性系统误差：????i?i?1Kj?k?1??nt??x?y?查表，若j 若?法 ?nnxny?nx?ny?2?x2x?ny??nx??ny?2y? 显著不为零，则有理由认为测量列存在线性系统误差 t?ta则无根据怀疑两组间由系统误差。 -!
法 阿卑-赫梅特准则 用于发现周期性系统误差：u?u????ii?1n?1i?1 若n?1?2，则认为测量列存在周期性系统误差 4）不同公式计算标准差比较法 ?2?1?u?12n?1 ， 若u?，则怀疑测量列存在系统误差。 2.3粗大误差 2.3.1粗大误差的产生原因：测量人员的主观原因，客观外界条件的原因。 2.3.2判别粗大误差的准则
3σ准则（莱以特准则） 如果在测量列中发现有大于3σ的残余误差测得值，则可认为它含有粗大误差。 罗曼诺夫斯基准则 首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若格罗布斯准则 当x服从正态分布时，将xj?x?K?，则剔除正确。 xi按大小顺序排列，得到g?n??x?n??x?， g?1??狄克松准则 x?x?1??的统，若g?i??g0?n,??，则判别该测得值含有粗大误差。 x?n?计量r10?x?n??x?n?1?x?n??x?1?x?n??x?n?2?x?n??x?3?，r11?x?n??x?n?1?x?n??x?2?，r21?x?n??x?n?2?x?n??x?2?，与r22?与各统计量的临界值比较（查表），若rij大于临界量，则认为x?n?含有粗大误差。 第三章 误差的合成与分配 3.1函数误差
3.1.1函数误差概念：间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，称为函数误差。 3.1.2函数系统误差计算公式：?y??f?f?f?x1??x2????xn ?x1?x2?xn-!
??f??f?2??f?2????3.1.3函数随机误差计算公式：?y??????????x?x1??x?x2??x?1??2??n反映。
3.1.5相关系数的确定方法：直接判断法，实验观察和简略计算法，理论计算法。
22?2???xn?2
3.1.4相关系数：误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖的关系，，这种关系的强弱有相关系数ρ来
3.2随机误差的合成
3.2.1标准差的合成：????a??iii?1q2?2??ijaiaj?i?j1?i?jq
?ai?i3.2.2极限误差的合成：???t???i?1?tiqq??i?j???2??ijaiajtt1?i?jij?2
3.3系统误差的合成
3.3.1已定系统误差的合成：?3.3.2未定系统误差的合成： 1）标准差的合成：u??ai?i
i?1r???au?iii?1s2?2??ijaiajuiuj1?i?js
?aiei2）极限误差的合成：e??t???i?1?tiss?eiej??2?aa?ijij?titj1?i?j?2
3.4系统误差与随机误差的合成
3.4.1按极限误差合成：?总??s?e???2ii?1i?12iq2isq2i
3.4.2按标准差合成：???u???i?1i?1
3.5误差分配
3.5.1误差分配步骤： 1）按等作用原则分配误差即?i2）按可能性调整误差 3）验算调整后的总误差
??y1n?f?xi 或 ?i??1n?f?xi
3.6微小误差的取舍准则
3.6.1对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3-1/10。
3.7最佳测量方案的确定
3.7.1选择最佳函数误差公式：选取包含直接测量值最少的公式。
3.7.2使误差传递系数等于零或为最小：由函数误差公式可知，若使各个测量值对函数的误差传递系数为
误差理论与数据管理方案计划学习知识情况总结
