24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 22?? 6
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A
2
解析：∵B＝{x|x＝n，n∈A}＝{1,4,9,16}， ∴A∩B＝{1,4}． 2． 答案：B 解析：
1?2i1?2i?1?2i?i?2?i1＝????1+i. 2?1?i??2i2223．
答案：B
解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为4． 答案：C
1. 3c255c5解析：∵e?，∴?，即2?.
a22a4b21b1222
∵c＝a＋b，∴2?.∴?.
a4a2b∵双曲线的渐近线方程为y??x，
a1∴渐近线方程为y??x.故选C.
25． 答案：B
0032
解析：由2＝3知，p为假命题．令h(x)＝x－1＋x， ∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0， 32
∴x－1＋x＝0在(0,1)内有解．
32
∴?x∈R，x＝1－x，即命题q为真命题．由此可知只有?p∧q为真命题．故选B. 6． 答案：D
21?ana1?1?qn?a1?anq3＝3－2an，故选D. 解析：Sn???21?q1?q1?37． 答案：A
解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．
2
当1≤t≤3时，s＝4t－t. ∵该函数的对称轴为t＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴smax＝4，smin＝3. ∴s∈[3,4]．
综上知s∈[－3,4]．故选A. 8． 答案：C
7
解析：利用|PF|＝xP?2?42，可得xP＝32. ∴yP＝?26.∴S△POF＝故选C.
9．
答案：C
解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈?0,?时，f(x)＞0，排除A.
21|OF|2|yP|＝23. 2??π??当x∈(0，π)时，f′(x)＝sinx＋cos x(1－cos x)＝－2cosx＋cos x＋1. 令f′(x)＝0，得x?故极值点为x?10． 答案：D
解析：由23cosA＋cos 2A＝0，得cosA＝∵A∈?0,2
2
22
2π. 32π，可排除D，故选C. 31. 25??1π?，∴cos A＝. ?2?536?b2?4913∵cos A＝，∴b＝5或b??(舍)．
2?6b5故选D.
11． 答案：A
解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V半圆柱＝
12
π3234＝8π， 2V长方体＝43232＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A. 12． 答案：D
解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．
当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C； 当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．
2
若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x＋2x|相切为界限， 由??y?ax,2
得x－(a＋2)x＝0. 2?y?x?2x,2
∵Δ＝(a＋2)＝0，∴a＝－2. ∴a∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：∵b2c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a2b＝1?1?∴b2c＝[ta＋(1－t)b]2b＝0，
2
即ta2b＋(1－t)b＝0.
8
11?. 22
∴
12t＋1－t＝0. ∴t＝2. 14．答案：3
解析：画出可行域如图所示．
画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝233－3＝3. 15．答案：
92π 解析：如图，
设球O的半径为R， 则AH＝
2R3， OH＝
R3. 又∵π2EH2
＝π，∴EH＝1.
2∵在Rt△OEH中，R2＝??R?229?3??+1，∴R＝8.
∴SπR2
9π球＝4＝2.
16．答案：?255
解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝5sin(x－φ)， 其中sin φ＝2555，cos φ＝5. 当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．
∴cos θ＝cos??π25?2?????＝－sin φ＝?5.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)设{an(n?1)n}的公差为d，则Sn＝na1?2d. 由已知可得??3a1?3d?0,?5a1?10d?5,
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)知
111?11?a＝????，2n?1a2n?1?3?2n??1?2n?2?2n?32n?1?从而数列??1??a?的前n项和为
2n?1a2n?1?
9
1?111111?????????? 2??11132n?32n?1?n＝. 1?2n18．
解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得
x＝
1(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0201(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.520＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，
y＝
＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6.
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
77的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的1010
叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB， 所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以OC＝OA1＝3. 又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA1，
2
2
2故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC3OA1＝3. 20．
x解：(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4. 故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.
x2
(2)由(1)知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x，
10
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
