高考专题五、高考中的圆锥曲线问题
考点自查
1．(2024·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5 B．2 C.3 D.2 答案 D
x2y2
解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，
ab可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)， ∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，
x2y2cx1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a2＝b2，∴e＝
aba＝
a2＋b2
＝2，选D. a2
2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
x2y2
A.＋＝1 255x2y2
C.＋＝1 3010答案 B
x2y2
解析 设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图
ab所示，因为F(－25，0)为C的左焦点，所以c＝25. 由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′. 在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝?45?2－42＝8. 由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12， 所以
a＝6，a2＝36，于是
b2＝a2－c2＝36－(2
5)2＝16，所以椭圆的方程为
x2y2
＋＝1. 3616
x2y2
B.＋＝1 3616x2y2
D.＋＝1 4525
湖南省长沙市长郡中学2024届高考数学(理)二轮专题复习：高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
