江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数 学 试 题
2020.05
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在
答题纸的指定位置上)
1.已知集合A??1,2,3,4?,B??xlog2(x?1)?2?,则AIB? ▲ . 2.设复数z?(2?i)(i为虚数单位),则z的共轭复数为 ▲ .
3.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线2x﹣y﹣1=0上方的概率为 .
4.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线x2?2py(p?0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ . 5.执行右边的程序框图,若p=14,则输出的n的值
为 ▲ .
S < p 26.函数y?log2(3?2x?x)的值域为 ▲ .
2开始 输入p n←1, S←0 N Y S←S + 2n n←n + 1 输出n 结束 7.等差数列{an}中,若a3?a5?a7?a9?a11?100, 则
3a9?a13? ▲ .
8.现用一半径为10 cm,面积为80? cm2的扇形铁皮制作一个无盖
(第5题)
的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为 ▲ cm3.
???0, ??,且tan??????1,tan???1,则tan?的值为 ▲ . 9.已知?,52S 第 1 页 (共15页)
?x?y?4≤0?10.已知实数x,y满足?2x?y?1≥0,则z?x?y?3的取值范围是 ▲ .
?x?4y?4≥0?
11.若函数f(x)?asinx?π?3sinx?π是偶函数,则实数a的值为 ▲ .
6312.在△ABC中,cosA?2sinBsinC,tanB?tanC??2,则tanA的值为 ▲ . ?1?mx2,x?0,?x13.已知函数f(x)??e若函数f(x)有四个不同的零点,则实数m的取值
x2??e?mx,x?0,
????范围是 ▲ .
14.已知???0,2??,若关于k的不等式sin??cos??ksin3??cos3?在???,?2?上恒成
立,则?的取值范围为 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步
骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)
已知sin??cos??(1)求?的值;
(2)设函数f(x)?sinx?sin
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为梯形,CD//AB,AB?2CD, AC交BD 于O,锐角?PAD所在平面PAD⊥底面ABCD,PA?BD,点Q在侧棱PC上,且PQ?2QC. (1)求证:PA//平面QBD; (2)求证:BD?AD.
22??3?1?ππ?,????,?. 2?44??x???,x?R,求函数f(x)的单调增区间.
PQDCO S 第 2 页 (共15页) A(第16题图) B
17.(本小题满分14分)
3)为 在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2?y2?4,直线l:4x?3y?20?0.A(4,55圆O内一点,弦MN过点A,过点O作MN的垂线交l于点P. (1)若MN∥l,求△PMN的面积.
(2)判断直线PM与圆O的位置关系,并证明.
18.(本小题满分16分)
如图,有一正三角形铁皮余料,欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上),并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问:如何剪裁,才能使得铁皮圆柱的体积最大?
19.(本小题满分16分)
S 第 3 页 (共15页)
设Sn数列{an}的前n项和,对任意n?N?,都有Sn?(an?b)(a1?an)?c(a,,bc为 常数).
b?3,c??2时,求Sn; (1)当a?0,2b?0,c?0时, (2)当a?1,2 (ⅰ)求证:数列{an}是等差数列;
(ⅱ)若对任意m,n?N?,必存在p?N?使得ap?am?an,已知a2?a1?1,
11)且?1?[1,,求数列{an}的通项公式. 29i?1Sin
20.(本小题满分16分)
若实数x0满足p?x0??x0,则称x?x0为函数p?x?的不动点.
(1)求函数f?x??lnx?1的不动点;
(2)设函数g?x??ax3?bx2?cx?3,其中a,b,c为实数.
1① 若a?0时,存在一个实数x0?[,2],使得x?x0既是g?x?的不动点,又是
2g??x? 的不动点(g??x?是函数g(x)的导函数),求实数b的取值范围;
② 令h?x??g'?x??a?0?,若存在实数m,使m,h?m?,h?h?m??,hh?h?m??
??成各项都为正数的等比数列,求证:函数h?x?存在不动点.
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数学附加题
2020.05
S 第 4 页 (共15页)
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题](本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在答题相应的区域内作
答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) A.(选修4-2:矩阵与变换)(本小题满分10分)
?a -1?
??,对应的変换把点(2,1)变成点(7、-1).
已知矩阵M=??
?-2 b?
(1) 求a,b的特征值. (2) 求矩阵M的特征值.
B.(选修4-4:坐标系与参数方程)(本小题满分10分)
以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中
??x=t,取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是?(t为参数),圆C的极坐标方
y=t-3??
程是ρ=4cos θ,求直线l被圆C截得的弦长.
C.(选修4-5:不等式选讲)(本小题满分10分)
对任意实数t,不等式|t?3|?|2t?1|≥|2x?1|?|x?2|恒成立,求实数x的取值范围.
S 第 5 页 (共15页)
[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
22.(本小题满分10分)
已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n. (1)求a1+a2+a3+…+a2n的值; (2)求-+-+…+
1
1
1
1
1
1
a1a2a3a4a2n-1a2n-的值.
23.(本小题满分10分)
甲,乙两人进行抛硬币游戏,规定:每次抛币后,正面向上甲赢,否则乙赢.此时, 两人正在游戏,且知甲再赢m(常数m?1)次就获胜,而乙要再赢n(常数n?m) 次才获胜,其中一人获胜游戏就结束.设再进行?次抛币,游戏结束.
S 第 6 页 (共15页)
(1)若m?2,n?3,求概率P???4?;
(2)若n?m?2,求概率P???m?k?(k?2,3,…,m?1)的最大值(用m表示).
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1. ?2,3,4? 2. 3?4i 3. 5 4.
12
5. 4 6. ???,2?
2e7. 40 8. 128π 9. ? 10. [1,7] 11. ?1 12. 1 13. (??,?) 14.
114????0,4? ??二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分)
3?13解:(1)由sin??cos??,得(sin??cos?)2?1?,
2233即sin2??2sin?cos??cos2??1?,所以sin2???.
22π,所以2???π,π,所以2???π,即???π. 因为???π,442236????(2)由(1)知,f(x)?sin2x?sin2x?π,
6所以f(x)?1?1?cos2x??1?1?cos2x?π?
22?3???????3sin2x?1cos2x??1sin2x?π.
?1?cos2x?π?cos2x??1???2?622?3???2?2令2kπ?π≤2x?π≤2kπ+π,
262kπ?π,kπ+π?,k?Z. 得kπ?π≤x≤kπ+π,所以函数f(x)的单调增区间是???63?63?????16.(本小题满分14分)
S 第 7 页 (共15页)
证明:(1)如图,连接OQ, 因为AB//CD,AB?2CD,
所AO?2OC, ………2分 又PQ?2QC,
所以PA//OQ, …………4分 又OQ?平面QBD, PA?平面QBD, 所以PA//平面QBD. ……… 6分 (2)在平面PAD内过P作PH?AD于H,
因为侧面PAD?底面ABCD,平面PADI平面ABCD?AD,
PH?平面PAD,所以PH?平面ABCD, …………………8分
又BD?平面ABCD,所以PH?BD, …………………10分 因为?PAD是锐角三角形,所以PA与PH不重合, 即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线,
又PA?BD,所以BD?平面PAD, …………………12分 又AD?平面PAD,所以BD?AD. …………………14分 17.(本小题满分14分)
解:(1)因为MN∥l,设直线MN的方程为4x?3y?c?0, 由条件得,4?4?3?3?c?0,解得c??5,即直线MN的方程为4x?3y?5?0.
55因为kOA?3,kMN??4,所以kOA?kMN??1,即OA?MN,
34所以MN?24?OA2?23. 又因为直线MN与直线l间的距离d?|?20?(?5)|4?322?3,即点P到直线MN的距离为3,
所以△PMN的面积为1?23?3?33. 2(2)直线PM与圆O相切,证明如下:
y0?35y?35?0设M(x0,y0),则直线MN的斜率k?,
45x?40x0?5因为OP?MN,所以直线OP的斜率为?所以直线OP的方程为y??5x0?4,
5y0?35x0?4x.
5y0?3S 第 8 页 (共15页)
5x0?4?y??x,4(5y0?3)4(5x0?4)?5y0?3联立方程组?解得点P的坐标为, ,?4y?3x4y?3x0000?4x?3y?20?0,???uuuur4(5y0?3)4(5x0?4)所以PM?-x0,?-y0,
4y0?3x04y0?3x0??uuuur22?y0?4, 由于OM??x0,y0?,x0uuuuruuuur4x(5y?3)24y(5x?4)2所以PM?OM?00-x0?00-y0
4y0?3x04y0?3x0?4x0(5y0?3)?4y0(5x0?4)?12x0?16y0?4??4?0,
4y0?3x04y0?3x0uuuuruuuur所以PM?OM,即PM?OM,所以直线PM与圆O相切,得证.
18. 设正三角形长为l,如图,设EF?x,则BF?x2x,GF?l?……………333分
若以EF为底、GF为高,则圆柱底面半径r1?2211x 2?33l?x??2x?1?2x2?V1??rh???l????lx,……………… 60?x??????23?4??3?2????分
V1??1x?23x2?2lx??4?2????3x?l
?当0?x?l3ll?x?时,V1??0;当时,V1??0;
233l3?l??V1???36?……………………………………………………………8分
?3?所以V1maxl?若以GF为底、EF为高,则圆柱底面半径r2?22?2x3………………………11分
2x??l???1?434l22?3l32V2??r2h2???x?x?lx0?x?, ?x???4??323??2??????S 第 9 页 (共15页)
V2??14?3ll?28l2??,令,得、 x?x?4x?x?lV?0212??2233??当0?x?所以V2max分
因为V2maxl23时,V2??0;当l23?x?3l时,V2??0; 2l3?l? ………………………………………………………14?V2???23183???l3l3???V1max,
36?183?所以以GF为底、EF为高,且EF?l23时,体积最大。……………… 16分
19.解:(1)当a?0,b?3,c??2时,Sn?3(a1?an)?2.① 22当n?1时,S1?3(a1?a1)?2,所以a1?1.
2当n≥2时,Sn?1?3(a1?an?1)?2.②
2①-②得:an?3an?1.因为a1?1,所以an?1?0,所以所以?an?是以1为首项,3为公比的等比数列,
n1?3S??1(3n?1). 所以n1?32an?3, an?1(2)(ⅰ)当a?1,b?0,c?0时,Sn?n(a1?an).③
22当n≥2时,Sn?1?n?1(a1?an?1).④
2③-④得:(n?2)an?(n?1)an?1?a1,⑤ 所以(n?1)an?1?nan?a1.⑥
⑤-⑥得:(n?1)an?1?(n?1)an?1?2(n?1)an. 因为n≥2,所以an?1?an?1?2an所以?an?是等差数列.
(ⅱ)因为a2?a1?1,所以d?1.
S 第 10 页 (共15页)
即an?1?an?an?an?1,
因为ap?am?an,所以a1?p?1?2a1?m?n?2,所以a1?p?m?n?1. 因为p,m,n?N*,所以a1?Z.又因为1≤1?11,
2a19所以9?a1≤2,所以a1?1或a1?2.
11n(n?1)n当a1?1时,an?n,Sn?,?1?21?1?2n,
2n?1n?1i?1Si??所以1?1?4?11 不符合题意.
S1S239当a1?2时,an?n?1,Sn?n(n?3)n, 2所以?1?11?21?1?1?11满足题意.
93n?1n?2n?39i?1Si所以an?n?1.
20.解:(1)由题意可知,lnx?1?x.
令??x??lnx?x?1,x?0.故?'?x??列表:
x ??11?x.…………………………2分 ?1?xx1? ?0,? 1 0 极大值f?1??0 ????1, ?'?x? ? ??x? Z ] 所以,方程lnx?1?x有唯一解x?1. 所以函数f?x??lnx?1的不动点为1.………………………………………………4分
2??bx0?cx0?3?x0(2)① 由题意可知?………………………………………………6分
2bx?c?x,?00?311?5?消去c,得b?2??1,x0?[,2],所以b??,11?.…………………………8分
x0x02?4?② h?x??g'?x??3ax2?2bx?c.
由题意知m,h?m?,h?h?m??,hh?h?m??成各项都为正数的等比数列,
???h?m??qm,??故可设公比为q,则?h?h?m???qh?m?,
?hh?h?m???qh?h?m??,????故方程h?x??qx有三个根m,h?m?,h?h?m??.………………………………11分 又因为a?0,所以h?x??g'?x??3ax2?2bx?c为二次函数,
故方程h?x??qx为二次方程,最多有两个不等的根.则m,h?m?,h?h?m??中至少有
S 第 11 页 (共15页)
两个值相等.……………………………………………………………………13分
当h?m??m时,方程h?x??x有实数根m,也即函数h?x?存在不动点,符合题意; 也即h?m??m,同上,函数h?x?存在不动点,符合题意; 题意;
综上所述,函数h?x?存在不动点.…………………………………………………16分
当h?h?m???m时,则qh?m??m,q2m?m,故q2?1,又因为各项均为正数,则q?1,当h?h?m???h?m?时,则qh?m??qm,h?m??m,同上,函数h?x?存在不动点,符合
附加题参考答案
21A.
??x=t,B.解:直线l的参数方程? (t为参数)化为直角坐标方程是y=x-3,…… 2
y=t-3??
分
圆C的极坐标方程ρ=4cos θ化为直角坐标方程是x2+y2-4x=0. …… 5分 圆C的圆心(2,0)到直线x-y-3=0的距离为d=又圆C的半径r=2,
所以直线l被圆C截得的弦长为212
=2. …… 7分
2r2-d2=14. …… 10
S 第 12 页 (共15页)
分
??3t?2,t??1,?2??C. 解:设f(t)?|t?3|?|2t?1|,即f(t)??t?4,?1≤t≤3,
2?t?3,?3t?2,?? 所以f(t)的最小值为7,所以|2x?1|?|x?2|≤7.
22 当x??2时,不等式即为?(2x?1)?(x?2)≤7,解得x≥?3,矛盾;
22 当?2≤x≤1时,不等式即为?(2x?1)?(x?2)≤7,解得x≥?1,所以?1≤x≤1;
22222 当x?1时,不等式即为(2x?1)?(x?2)≤7,解得x≤5,所以1?x≤5.
62622 综上,实数x的取值范围是?1≤x≤5.
26 22.
(1)令x=0得,a0=1;令x=1得,a0+a1+a2+a3+…+a2n=22n. 于是a1+a2+a3+…+a2n=22n-1. (2)ak=C2kn,k=1,2,3,…,2n,
11k!(2n+1-k)!(k+1)!(2n-k)!k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1)
首先考虑+=+= k+1
(2n+1)!(2n+1)!(2n+1)! C2nk C+12n+1=
k!(2n-k)!(2n+2)
(2n+1)!1
=, (2n+1) C2kn2n+2
2n+111
则k=(+k+1), C2n2n+2 C2nk C2n+1+1
2n+111因此k-k+1=(-k+2).
C2n C2n2n+2 C2nk C2n+1+1
1
1
故-+-+…+1
1
1
1
1-1
a1a2a3a4a2n-1a2nS 第 13 页 (共15页)
2n+1111111=(--+…+2n-1-2n+1) 3+2n+2 C2n1 C2n3 C2n5 C2n+1 C2n+1+1 C2n+1+1+12n+1112n+11n=(-2n+1)=(-1)=-. 2n+2 C2n12n+22n+1n+1+1 C2n+1
23.(本小题满分10分)
解:(1)依题意, P???4??3?1?1?3.
28(2)依题意,P???m?k??C设f?k??C??3?m?1m?k?1?Cm?1m?k?1??12??m?k(k?2,. 3,…,m?1)
?m?1m?k?1?Cm?1m?k?1??12??m?k??m?k?1?!?m?k?1?!?1?????2m?1!k!m?1!k?2!????????m?k??m?k
m?m?1??k?k?1?1? ?2m?1!k!??????m?k?1?!
m?m?1???k?1?k1m?k?1???m?k?!f?k?1??m?k???m?1?!?k?1?!2?m?m?1???k?1?k??. 则??f?k?m?m?1??k?k?1?1m?k2?k?1???m?m?1???k?1?k?????m?k?1?!2?m?1?!k!????而
?m?k???m?m?1???k?1?k??≥1 (*) 2?k?1???m?m?1???k?1?k???k3??m?1?k2??m2?2?k?m?m2?m?2?≤0
(#) ??k?m??k2?k?m2?m?2?≤0.
因为k2?k?m2?m?2?0的判别式??1?4m2?m?2?0
?m2?m?7?0(显然在m?1,m?N*时恒成立),
4??所以k2?k?m2?m?2?0.
又因为k≤m,所以(#)恒成立,从而(*)成立. 所以
f?k?1?≥1,即f?k?1?≥f?k?(当且仅当k?m时,取“=”), f?k?S 第 14 页 (共15页)
所以f?k?的最大值为f?m??f?m?1??C即P???m?k?的最大值为C
?m?12m?Cm?12m?m?12m?Cm?12m??12????12??2m?1,
2m?1.
S 第 15 页15页)
(共
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试(附答案)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)