2024年广东省佛山市高考数学一模试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 【解答】解：∵∴在复平面内，复数
＝
，
对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2
2．（5分）已知集合A＝{x|x﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，2） 【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}， ∴A∩B＝（1，2）． 故选：D．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ） A．cosx﹣cosy＞0 B．cosx+cosy＞0 C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0
【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝cosx在（0，+∞）上不是单调函数，故cosx﹣cosy＞0不一定成立，A错误； 对于B，当x＝π，y＝
时，cosx+cosy＝﹣1＜0，B不一定成立；
对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确； 对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．
x4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e关于y轴对称，则f（x）＝（ ）
﹣x+1﹣x﹣1x﹣1x+1
A．e B．e C．e D．e 【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．
x﹣x【解答】解：y＝e关于y轴对称的函数为y＝e， 然后向右平移一个单位得到f（x），
﹣（x﹣1）﹣x+1
得y＝e，即f（x）＝e， 故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础． 5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1． ∴第三个三角形的面积为1； 则阴影部分的面积之为
：
第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，
故选：B．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”
N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．
6．（5分）已知等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…an取得最大值的n为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求． 【解答】解：∵等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，
，
解可得，q＝∴an＝
，a1＝27， ，
若使得a1a2…an取得最大值，则n应该是偶数， 且n＞4时，|an|＜1，
故当n＝4时，a1a2…an取得最大值． 故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键． 7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（A．
B．
+C．2
）＝（ ）
D．3
【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的值．
【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，
∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，
解得tan＝，或tan＝﹣2，
∴tan（+）＝＝＝3．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．（5分）已知双曲线C：
，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若
△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ） A．C．
﹣y＝1
＝1
2
B．xD．
2
＝1 ＝1
【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线C：
的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，
由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b）， △OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1， 且a＝
×2＝
，
﹣y＝1．
2
可得双曲线的方程为
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题． 9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升 C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
【分析】通过图结合选项分析．
【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错； 由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；
由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7， 则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错； 故选：D．
【点评】本题考查频率直方图，属于基础题． 10．（5分）已知函数f（x）＝A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） C．（﹣2，0） 【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝
2
2
+2x+1，且f（a）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（ ）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D．（﹣1，3） +2x+1﹣＝
2
+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，
f（a）+f（2a）＞3，转化为F（a）＞﹣F（2a），即可解出答案．
【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝则F（0）＝f（0）﹣＝0， 又由F（﹣x）＝又由F′（x）＝
所以函数F（x）单调递增，
2
若f（a）+f（2a）＞3， 则f（a）﹣＞
2
2
+2x+1﹣＝+2x，
+2（﹣x）＝﹣（＝
+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数； ＝
＞0，
，
f（a）﹣＞﹣[f（2a）﹣]， F（a）＞﹣F（2a），
2
F（a）＞F（﹣2a），
2
所以a＞﹣2a，
解得，a＜﹣2或a＞0， 故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题． 11．（5分）已知函数f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f（x）的最大值为2．
其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin
cos
，函数的零点为方程sin
＝0或cos
＝0，x＝
或x＝
2
，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．
【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sinx﹣sin（πx）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，①正确． 假设存在周期T，
则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sinx+sinπx， sin（x+T）﹣sinx＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]， 所以sin?cos存在x0∈R，使得cos将x0∈R，﹣sin由于
?cos
， ＝﹣sin
?cos＝0，而cos
＝0，
①， ≠0，
故﹣sin＝0，
＝0，
所以sin＝0，sin＝kπ，
＝mπ，k，m∈Z，
所以kπ＝m，矛盾，
所以函数f（x）＝sinx+sin（πx），没有周期，②错误．
f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin
函数的零点为方程sin
＝0或cos
cos， ＝0，
x＝x＝
或x＝，
或
，x∈（0，π） ，
所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确． 假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，
x0＝
即x0＝所以
且πx0＝且x0＝＝
，
，（k∈Z） ，
k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题． 12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1
分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（ ） A．3 B． C． D．3
2222222222
【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB＝h+4，BQ＝m+4，MQ＝（h﹣m）+4由MB＝BQ+MQ?m22
﹣hm+2＝0．△＝h﹣8≥0?h≥8，且h≤4，
22
可得S＝1+h，就可求出S最大值．
【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，
222222
则有MB＝h+4，BQ＝m+4，MQ＝（h﹣m）+4 由MB＝BQ+MQ?m﹣hm+2＝0．得h＝△＝h﹣8≥0?h≥8，且h≤4，
2
即8≤h≤16，
2
2
2
2
2
2
＝m+①
S＝
2
2
2
，
[（h﹣m）+4]×（m+4）
2
2
S＝×|MQ|×|BQ|＝
把①代入得
2
2
S＝×[（m+﹣m）+4]×（m+4）＝
＝5+（+m）﹣4＝1+（+m）＝1+h， 所以S＝1+h∈[9，17]， 2
Smax＝17， Smax＝， 故选：C．
2
22
2
2
2
[+4]×（m+4）＝5+
2
2024届佛山市高三教学质量检测(一)数学理科试题
