函数的应用—数学建模在中学数学研究性学习中的尝试
（课堂教学设计表）
学校：城桥中学 班级：高一（1） 学科：数学 教师：陈瑜斌 课题：函数的应用 —数学建模在中学数学研究性学习中的尝试 时间：2005年10月19日8：10—8：50 教学目标: 知识和技能目标：1、数学建模的一般步骤 2、研究实际问题的一般方法 过程和方法目标：1、尝试收集、处理数据 2、建模的优化 情感目标： 1、在应用数学知识解决实际问题的过程中体验成功 2、在合作探究中培养团队精神，激发创新意识 设计依据： （一）教材分析 本节课是在学习和研究了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的基础上展开的有关“函数应用”的一次教学活动。根据函数在实际生活和生产中的广泛应用，让学生尝试从收集原始数据入手，通过建立数学模型，设计出最优方案。 （二）学生分析 本案例授课班级是高一理科班。学生的数学基础尚可，大部分学生的求知欲旺盛，具有一定的探索精神。课前布置学生调查崇明工业园区中去年九月份新建的一个服装厂经营情况（主要是产量）。本案例教学的主要目标是指导学生走向社会，尝试收集数据，建立数学模型，研究解决实际问题。 教学过程 教学环节 (一) 收集数据汇报 （二） 例 题 探 究 与 学 习
教师活动 学生活动 设计意图 在中学数学教学中开展数学建模的教学是一个新的尝试和探索。它是指从实际问题入手建立数学模型，求出数学模型的解并验证模型解的全过程。把数学建模引入课堂教学，从教学目的、教学内容、教学模式、教学手段上都将会给中学数学教学改革带来新的突破，在这方面没有什么现成经验可以借鉴，需要进行多种形式的教学实验。 函数的应用意识和应用能力，要通过对学生长期的渗透和学生自身的体验才能形成。本课例在提出问题以后，让学生转换角色，“假如你是厂T：请班长把调查城桥镇新建服S1（班长）：我们调查了城桥镇装厂的近期生产状况汇报一下。 琪琪服装厂。该厂从去年九月T：很好！同学们能深入社会，份开始投产，并且前4个月的3.7万件，了解社会，收获一定很大。现在产量分别为3.5万件，琪琪厂厂长碰到了一个难题：为3.8万件，3.88万件。由于产品了正确制订后期生产计划，需要质量好，服装款式新颖，因此估测以后几个月的产量。假如你前几个月的产品销售情况良是厂长，你能结合我们学过的知好。 识，帮助他解决这个问题吗？ 学生们交头接耳，开始了热烈（点评：教师把学生置于“厂长”的分组讨论。稍后，学生纷纷的位置，调动他们的情趣和积极举手。 S2：从函数关系角度去研究，性，独具匠心。） T：嗯，很好！是否还有不同意把月份看作横坐标，产量看作纵坐标，建立坐标系。 见？ （自言自语）哦！对！这样T：回答得太好了！由“月份”S3：和“产量”的“数对”，想到要我可以把原来的几对数据看作建立直角坐标系；现在我们描出几个点了。 （抢着回答）不就是（9，各点位置并用直线段连接各点S4：、（10，3.7）、（11，3.8）、（教师边说边用电脑演示）。同3.5）学们观察联想与连线接近的函（12，3.88）这几个点吗？ 数图象（如图）。“由数到形”，S5：第5个月怎么办？横坐标再“由形到数”，请大家讨论研为13吗？…… 1
（三） 学生 自主 小结
究用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数，利用函数模型来解决今天的实际问题。 （课堂讨论热烈，研究气氛逐渐形成。教师边巡视边参与点拨。） T：现在各组汇报一下你们选择的模拟函数。 T：很好！太好了！现在我们设月产量为Y（万件），月份数为X，建立直角坐标系，可得A（1，3.5），B（2，3.7），C（3，3.8），D（4，3.88）四点。下面同学们分成四个组，分别确定各个模拟函数的解析式（允许用计算器），然后每组选出一位同学来板演计算过程，并计算出剩余点的误差。（经过各小组学生的研究讨论，确定了求各函数解析式的方法，并推选四位学生上台板演计算过程） T：同学们计算非常正确。说法也非常正确。你们求函数解析式的方法叫做待定系数法。第①个函数要待定两个系数k和b，所以只须两个点就可以了。一般我们选A、B两点，当然也可选A、C或B、C，但一般不选D点。第②个函数要待定三个系数必须选三个点，一般选A、B、C，即从第一、二、三个月产量去确定模拟函数，再计算第④个月的模拟产量与实际产量的误差。选取的点不同，得到的模拟函数一般也不同。我们的同学很有思想，敢于提出不同意见，非常好。 T：同学们，如果你是厂长，现在你考虑选择哪个模拟函数呢？ T：同学的评价都很有道理。我相信今后你去当一个厂长，一个管理者，一定是一个称职的好厂长，好管理人员。现在老师把你们选择的模拟函数曲线用电脑演示一下。（屏幕显示的曲线效果大大吸引了学生） （老师笑着点点头） （S5提出了疑问，课堂上一陈轻声议论） S6：我认为应看作（1，3.5）、（2，3.7）、（3，3.8）、（4，3.88）这四点。 （学生们纷纷点头，露出赞同的表情） S7：我们选用一次函数，因为一次函数最简单，它是直线型的。我们的模拟函数是：y=kx+b（k≠0） 四位学生板演结束。不少学生一边举手一边嚷嚷：“老师，我第①个函数选取的两个点不同，结果也不同”。“老师，第②类函数我选的三个点不同，结果也不一样”…… S8：我们选用二次函数，因为折线显然不是直线，二次函数是我们熟悉的常见的曲线函数。我们的模拟函数是：y=ax2+bx+c（a≠0） S9：我们选用最近学习的幂函数型，我们觉得这个函数比较符合生产实际。我们的模拟函数是：y=ax0.5+b（a≠0） S10：我们选用指数型函数，模拟函数是：y=abx+c（a、b≠0） S11：我认为选第①个直线型函数。因为它的误差值最小。 S12：（迫不及待举手发言）我选第③个幂函数型。因为琪琪厂刚新建，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定。而第③个模拟函数恰好反映了这种趋势，因此选用比较符合客观实际。 S13：我认为分四步： （1）调查收集得出原始数据对； （2）建立直角坐标系，描出这些点并用直线段连接； （3）观察折线图象，确定选用哪种函数模型； 2
长”，“假如你是区长”，把他们置于自主解决问题的地位，带有更大的责任感，能有效激发学生解决问题的兴趣，调动情感因素。教学中，对于学生建模、演算的结果，及时肯定和表扬，并采用小组合作的形式，组织学生讨论，为每一位学生提供展示学习成果的机会，激发探索精神。把培养非智力因素和智力因素有机地结合起来，使数学建模的教学注入动力机制，有利于应用意识的培养。 数学建模中的实际问题背景更加复杂，解答具有更大的综合性和多样性，而结论还需要进行检验和优化，带有更大的挑战性和创造性。数学建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练，使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开阔的天地；使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径。 T：现在我们一起归纳一下，解决一个实际问题的一般步骤。 T：还有补充意见吗？ T：说得太好了。很有归纳总结的才华。 今天我们全体同学用学过的知识为琪琪服装厂厂长提供了一个很好的决策建议。从中我们也学到了一种数学建模、解决实际问题的一般方法。今后我们还会学到更多新的函数，为解决实际问题提供更广阔的天地。 （4）对模型进行分析评价。 全班同学异口同声：哇！选第③个函数。 （学生们摇头说：“没有补充意见”。） （学生们大笑） 附表：教师将各组讨论结果一一填入小黑板的表中： 月份 产量（万件） ①Y=kx+b ②Y=ax2+bx+c ③Y=ax0.5+b ④Y=abx+c … 1 3.5 2 3.7 3 3.8 4 3.88 5 误差 |y4-3.88| 作业如下： 投影打出学生们从网上下载的浦东新区1998—2003年区国民生产GDP总值情况： 年度 1998 1999 2000 2001 2002 2003 GDP（亿元） 708 800 920 1082 1251 1504 （1）请建立一个数学模型，用以预测浦东新区以后几年的GDP情况； （2）计算浦东新区GDP的平均年增长率； （3）由（1）、（2）分别预测浦东新区2004年—2010年GDP情况，并讨论哪种预测结果更有可行性。假如你是区长，将会采用哪种模型？ 得出浦东新区GDP年增长率远远高于全国的年增长率8%。能不能从增长率的角度再建立一个GDP变化的数学模型呢？ 3
[自我反思] 1、成功之处：由于这一节课的教学重点是培养学生用数学的眼光观察事物，能提出实际问题并建立与之相应的数学模型，以提高用函数知识解决实际问题的能力。而实际问题的产生一定要到生产实际和生活中去观察、搜集和提炼，忌讳从书本上摘抄或虚拟，所以这节内容的教学须打破传统的教学方法和模式，要走出校门，要让学生在实践中深层次地参与教学活动，让学生以研究者的身份在研究中学习，真正体现学生的主体地位。故在教学中我留给学生充分的时间和空间，把课内教学和课外学习活动有机结合。 开始阶段，我结合教材内容及高一学生的知识现状，精心选择了贴近学生认知水平，能综合应用基础知识又贴近生活实际的课题，即调研琪琪服装厂的产量问题。之后，我把同学分成两小组，分别搜集相关数据，把他们置于研究者的身份，在我的组织指导下，让学生有计划、有限度地参与建模过程，让学生初步体验理论分析法、模拟方法等数学建模方法。 第二阶段为课堂教学。由两个小组各派一名代表向全班同学展示其研究成果，教师对其建模过程进行分析评价，让学生感受到数学知识的产生来自于实际生活，最终要为生产实际和生活服务的理念。 课外作业是对浦东新区GDP的预测，我设想让学生去上网查找、验证数据的可靠性，同时引导一批数学基础较好的学生完成一篇实习报告，鼓励学生要勇于实践，敢于提出实际问题，发扬互相合作、互相学习的团队精神，充分体验在实践中学习的乐趣。能切实有助于学生巩固基础知识、激发创新意识、培养学生的实践能力，从而有助于全面落实这节课的教学目标。 2、不足之处：由于学生知识水平和课时的限制，不可能进行完全科学的建模过程。比如建立函数关系式由于已知点的选择不同对数学模型的影响；怎样科学地比较各个模型的优劣；怎样调整数学模型等。这有待以后进一步深入展开。在数学建模教学中，把课内教学与课外活动结合起来是一条值得探索的途径，它将形成一个新的教学模式，这也是我们正在研究的问题。同时由于时间的关系，我感到学生自我评价还未充分，有意犹未尽之嫌。 3、努力的方向：对学生来讲，他们学到了以前在学校里从来没有学到的东西，感受到了以前从没得到的体验。虽然研究结果还需进行检验和优化，但数学建模过程却使同学们走出了课本传统的习题演练，使他们走进生活、生产实际中，进入一个更加开放的天地，使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的学习过程。我想，这对于培养学生的应用意识和创新精神是一个很好的途径。 以后的教育实践中要经常组织这种形式的教育，进一步放手让学生走出课堂，尝试写出调研报告，促进研究性学习真正落到实处，更有效地激发学生学好数学的热情，开拓学生视野，提高学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会数学的应用价值，培养学生的创新精神，学会互相合作，享受到数学学习的乐趣。 [教学点评]美国数学家波利亚说过，“数学教师的首要责任是尽一切可能来发展学生解决问题的能力”。本案例从学生实际调查结果和把学生推上“厂长”位置角度去解决实际问题出发，精心创设问题情景，有效启发了学生的问题意识，成功激发了学生的好奇心和探究欲。本案例教学中教师教学风格亲切、自然、民主，对学生的探究结果不时加以表扬和赞赏，有助于师生间的协调合作和学生自信心的提高。数学建模过程是本案例的重点，也是难点。教师引导学生从学过的函数知识出发，通过讨论、交流、反思、修正等手段，有助于培养学生的探究能力。将课内教学和课外活动有机结合，是一种新的教学方式的尝试。本案例在课外活动的设计和实施中，对学生的组织引导方面还有待改进和完善。本案例在数学教学活动中重视学生的学习经历、探究过程的体验和感悟，提高学生研究性学习的能力，激发学生的创新意识，符合二期课改的教育理念，也是我们数学教学不断努力研究的一个重要课题。让我们一起成为二期课改教学实践研究的勇敢探索者。
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函数的应用—数学建模在中学数学研究性学习中的尝试
