∴C(m，－m－2)，
2
∴PC＝－m＋3m＋10， ∵PD⊥AB于点D，
∴在Rt△CDP中，sin∠ACP＝＝∴PD＝－
PDPC2， 22232m＋m＋52； 22(3)存在，m的值为－1或2.
【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G.
∵sin∠ACP＝22，∴cos∠ACP＝，
222， 2又∵∠FDP＝∠ACP，∴cos∠FDP＝在Rt△PDF中，DF＝1232PD＝－m＋m＋5， 222∵点B纵坐标为－7，且点B在直线AB：y＝－x－2上， ∴点B(5，－7)，∴BG＝5－m，
∵P不与A、B两点重合，∴－2 S?PCDDF1∴当＝＝时，解得m1＝－1或m2＝5(舍)． S?PBCBG2当 S?PCDDF＝＝2时，解得m1＝2或m2＝5(舍)， S?PBCBG∴m的值为－1或2. 第3题解图 4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)， 4 把点A(0，4)代入上式，解得a＝， 5 442244162 ∴y＝(x－1)(x－5)＝x－x＋4＝(x－3)－， 55555∴抛物线的对称轴是直线x＝3； 8 (2)存在，P点坐标为(3，)．理由如下： 5 如解图①，连接AC交对称轴于点P，连接BP，BA， 第4题解图① ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC， ∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC， ∴此时△PAB的周长最小， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b中， 4??b?4k???得?，解得?5, ?5k?b?0??b?44 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋4， 548 ∵点P的横坐标为3，∴y＝－×3＋4＝， 558 ∴P点坐标为(3，)； 5 (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大. 4224 如解图②，设N点的横坐标为t，此时点N(t，t－t＋4)(0 55 过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G，过点A作AD⊥NG，垂足为点D. 第4题解图② 4 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4， 544 把x＝t代入y＝－x＋4得y＝－t＋4， 554 则G(t，－t＋4)． 5 4422442 此时NG＝－t＋4－(t－t＋4)＝－t＋4t， 5555∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CNG 11 ＝NG·AD＋NG·CF 221 ＝NG·OC 2142 ＝×(－t＋4t)×5 25＝－2t＋10t 5225＝－2(t－)＋， 22 525 ∴当t＝时，△NAC的面积最大，最大值为， 22 2 54224 由t＝，得y＝t－t＋4＝－3， 2555 ∴N点坐标为(，－3)． 2 5. 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于A(－1，0)、B(3，0)、C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝ ∠DBC？如果存在，请求出点P明理由； (3)如图②，在(2)的条件下，将 △BOC沿x轴正方向以每秒的坐标；如果不存在，请说 1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B'O'C'.在平移过程中， △B'O'C'与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函 数关系式？ 第5题图 备用图 9a?3b?3?02 解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)代入抛物线y＝ax＋bx＋3(a≠0)，得?， ??a?b?3?0解得：a＝－1，b＝2. 2 故抛物线解析式为：y＝－x＋2x＋3. (2) 存在．理由如下： 将点D(2，m)代入抛物线解析式得m＝3， ∴D(2，3)， 当x＝0时，y＝3， ∴C(0，3)， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝∠CBO＝45°， 如解图①，设BP交y轴于点G， ∵CD∥x轴， ∴∠DCB＝∠CBO＝45°， 在△CDB和△CGB中： ??DCB??CBO??OCB∵?， ?BC?BC??PBC??DBC?∴△CDB≌△CGB(ASA)， ∴CG＝CD＝2， ∴OG＝1， ∴点G(0，1)， 设直线BP的解析式为y＝kx＋1(k≠0)， 代入点B(3，0)，得3k+1=0 1 ∴k＝－， 3 1 ∴直线BP：y＝－x＋1， 3联立直线BP和二次函数解析式： 第5题解图① ?y?－x2?2x?32??x2?3x1?－??，解得：或(舍)， ?3??1??y2?011?y?－x?1?y?3??1?9211∴P(－，)． 39 (3)直线BC：y＝－x＋3，直线BD：y＝－3x＋9， 当0≤t≤2时，如解图②： 设直线C′B′：y＝－(x－t)＋3 联立直线BD和直线C′B′： 3t?y??3x?9，得F(6?t，)， ?22?y??(x?t)?3S＝S△BCD－S△CC'E－S△C'DF ＝ 1113t×2×3－×t×t－×(2－t)(3－)， 222252 t＋3t(0≤t≤2)． 4第5题解图② 整理得：S＝－ 当2
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