2024中考数学 二次函数压轴题专项训练（含答案）
1.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；
(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．
第1题图
解：(1)∵抛物线y＝ax－2ax＋c经过点A(4，0)，C(0，4)，
2
1??16a?8a?c?0a???∴?,解得?2,
c?4???c?412
∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4；
212192
(2)∵y＝－x＋x＋4＝－(x－1)＋ 2229
∴N(1，)，
2
如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，
第1题解图①
则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为使CK＋KN最小的K点位置．设直线C′N的解
9
析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C′(0，－4)，N(1，)代入，得
2
b＝－417????k＝2， ?9，解得?
k＋b＝??2??b＝－4
∴直线C′N的解析式为y＝
17
x－4， 2
178
令y＝0，即x－4＝0，解得x＝，
2178
∴点K的坐标为(，0)；
17
(3)如解图②，过F作FM⊥x轴于M，
第1题解图②
∵D是OA的中点， ∴D(2，0)， ∵OF＝DF， ∴OM＝MD， ∴M(1，0)，
∴点F的横坐标是1.
设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 将点A(4，0)，C(0，4)代入， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋4， ∴点F的坐标为(1，3)， 12
设P(t，－t＋t＋4)，则
2
12
－t＋t＋4＝3，解得t＝1＋3或t＝1－3(舍去)， 2∴点P的坐标为(1＋3，3)．
2. 如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx经过点B(1，4)和点E(3，0)两点． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD＝DE.求D点的坐标；
(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标．
第2题图
a?b?4解：(1)将点B(1，4)，E(3，0)的坐标代入抛物线的解析式得?, ??9a?3b?0?a??2解得?,
?b?6∴抛物线的解析式为y＝－2x＋6x； (2)∵BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°，
∴∠BDC＋∠EDO＝90°，又∵∠ODE＋∠DEO＝90°， ∴∠BDC＝∠DEO， 在△BDC和△DEO中， ∠BCD＝∠DOE＝90°??
， ?∠BDC＝∠DEO??BD＝DE∴△BDC≌△DEO(AAS)， ∴OD＝BC＝1，∴D(0，1)；
(3)如解图，作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接BD交抛物线的对称轴于点M.
'2
第2题解图
3
∵抛物线对称轴为直线x＝?b＝，
2a2
3
∴点B′的坐标为(2，4)，∵点B与点B′关于x＝对称，
2∴MB＝BM，∴DM＋MB＝DM＋MB′，
∴当点D、M、B′在同一条直线上时，MD＋MB有最小值(即△BMD的周长有最小值)， ∵DC＝OC－OD＝3，CB′＝2，CB＝1， ∴B'D＝DC2?CB'＝13， BD＝DC2?BC2＝10，
∴△BDM周长的最小值＝10＋13， 设直线B'D的解析式为y＝kx＋t，
??t＝1
将点D、B′的坐标代入得?，
?2k＋t＝4?
2'3??k＝3
解得?2，∴直线DB′的解析式为y＝x＋1，
2
??t＝1313313将x＝代入得y＝，∴M(，)．
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3.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A、B两点之间的一个动点(不与点A、B重合)，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点C，作PD⊥AB于点D. (1)求b及sin∠ACP的值；
(2)用含m的代数式表示线段PD的长；
(3)连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)∵当y＝0时，－x＋2x＋8＝0， 解得∴x1＝－2，x2＝4. ∵点A在x轴负半轴上， ∴A(－2，0)，OA＝2，
∵点A在一次函数y＝－x＋b的图象上， ∴2＋b＝0， ∴b＝－2，
∴一次函数表达式为y＝－x－2，
如解图，设直线AB交y轴于点E，则E(0，－2)，OE＝OA＝2， ∴△AOE为等腰直角三角形，∠AEO＝45°， ∵PC⊥x轴交AB于点C， ∴PC∥y轴，
∴∠AEO＝∠ACP＝45°，
∴sin∠ACP＝sin45°＝2；
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(2)∵点P在二次函数y＝－x＋2x＋8图象上且横坐标为m，
2
∴P(m，－m＋2m＋8)，
∵PC⊥x轴且点C在一次函数y＝－x－2的图象上，
2
2024年中考数学 二轮复习：二次函数压轴题专项训练
