第3章动量定理及其守恒定律习题解答 15 第3章动量定理及其守恒定律习题解答
第三章基本知识小结
⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
???dvd2r??m2 矢量式：F?ma?mdtdtFx?max,Fy?may,Fz?maz（直角坐标）分量式：
dv?v2F??ma??m,Fn?man?m（弧坐标）dt?
⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
??dp导数形式：F?
dt??微分形式：Fdt?dp
???积分形式：I(??Fdt)??p
（注意分量式的运用）
⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即
?? 若?F外?0，则p?恒矢量。（注意分量式的运用）
⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：在转动参考系中：
?*?f??ma0
?*?fk?2mv'??
??mac??miai
?*?fc?m?2r,⒌质心和质心运动定理 ⑴mrc????miri??mvc??mivi??⑵?F?mac
（注意分量式的运用）
3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）
???2?2????12?解：∵a?dr/dt?12i?6j, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒
力而运动。
F=(242+122)1/2=12
5N，力与x轴之间夹角为：
??arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'
3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：rω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵a???bsin?t?a,b,?acos?tij，
?????bsin?t??d2r/dt2???2(acos?tij)???2r
???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。
第3章动量定理及其守恒定律习题解答 16 第3章动量定理及其守恒定律习题解答
3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？
解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为 加速度为
f??omg，谷物能获得的最大
a?f/m??og?0.4?9.8?3.92m/s2 ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷
物与筛面发生相对运动。
μ1 m 1 μ2 m 2
3.5.3 题图 3.5.4题图
3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ
1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
F
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
y
x
f2 f1' m2g N2 N1' F a2 a1
N1
f1
m1g
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有
?1N1?m1a1F??1N1??2N2?m2a2a1??1gN1?m1g?0N2?N1?m2g?0 解方程组，得
a2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2
?a1，即
?F???1??2要把木板从下面抽出来，必须满足a2F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g??m1?m2?g
m1 αm2 3.5.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：
x'
N1
f*=m1a2
y' α α m1g
a'
y N2
x
a2
α N1'=N1 m2g
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
?N1?m1gcos??m1a2sin??0?(1)?(2)?m1gsin??m1a2cos??m1a'?律建立方程：
再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定
?(3)?N1sin??m2a2 （1）、（2）、（3）联立，即可求??N2?m2g?N1cos??0?(4)m1m2cos?得：N1?gm2?m1sin2?
3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F
(m?m2)sin?a'?1g
m2?m1sin2?m1 m2
F
第3章动量定理及其守恒定律习题解答 17 第3章动量定理及其守恒定律习题解答
的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
N1
T a
f1
m1g
T f2 f1 a
N2 N1 m2g
F
T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②
①+②可求得：a?F?2?m1g??g
m1?m2将a代入①中，可求得：T
?m1(F?2?m1g)
m1?m2A B 3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
C N1
T' T
T a3 m3g
N2
f2
m2g
a2
T??m1g?m1a1①T??m2g?m2a2②m3g?2T?m3(a1?a2)/2③①,②,③联立，可求得：
f1 a1 m1g
??2m2m3(1??)a1?????g?(m1?m2)m3?4m1m2???2m1m3(1??)a2?????g
?(m1?m2)m3?4m1m2??(m1?m2)m3(1??)?a3?????g?(m1?m2)m3?4m1m2?3.5.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：
T'?m1g?m1a①m2g?T'?m2a②T?2T' 由①②可求得：
m1 m2
T'?2m1m2g2m1m2g ,T?m1?m2m1?m2a
T'
a
T'
T
所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。
3.5.11棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。
解：由F—t图可知：
m1g
m2g T' T'
当0?t?0.05时，F?t0.05Fmax0.08?t0.03当0.05?t?0.08时，F?由
0.08Fmax
定
理
：
Fmax
F(N)
[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]
动
量
0
0.05 0.08 t(s)
m?v??Fdt??00.05Fmax0.050tdt?0.08Fmax0.030.05?(0.08?t)dt
可求得Fmax = 245N
3.5.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力
98
F(N)
t(s) 20
第3章动量定理及其守恒定律习题解答 18 第3章动量定理及其守恒定律习题解答 时才启动）。
解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t （t≤20）,令F=mg，即4.9t=2×9.8，t=4s 因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s
为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ；t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.
第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt
Y Y2 Y1 0 dv?F/mdt?gdt?4.9/2tdt?9.8dtvtt?0dv?4.9/2?4tdt?9.8?4dt?t?20?v?4.9/4t2?9.8t?4?4.9?t?20?vmax?v(20)?314m/s?dy?vdt?(4.9/4t2?9.8t?4?4.9)dt??01dy?4.9/4?4t2dt?9.8?4tdt?4?4.9?4dty1?1672m第三阶段运动学方程
y202420
v?314?9.8(t?20)(1),y?y1?314(t?20)?4.9(t?20)2(2)
令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)
3.5.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？
解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，加速度大小a=ω2x，方向垂直指向y轴。
在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：
y ω a N α x mg Ncos(90???)?Nsin??m?x①
Nsin(90???)?Ncos??mg②①/②得：tgα=ω2x/g ③；由数学知识：tgα=dy/dx=2ax； 所以，2ax??22x/g,?2?2ag,??2ag
R
的圆形，圆方程为：x2
+
(R-y)2
=
R2，即
若弯管为半径为
(R?y)2?R2?x2,R?y?(R2?x2)1/2,y?R?(R2?x2)1/2tg??dy/dx??(R?x)1222?1/2?(?2x)?x/R?x22代入③中，得：x/
R2?x2??2x/g,??g/R2?x2
3.5.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.
解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有
x α
N
y a mg
l
α h
cos??l2?h2/l,sin??h/l
选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：
Ncos??Nl2?h2/l?mg①，Nsin??Nh/l?mv2/R② ①/②得：
第3章动量定理及其守恒定律习题解答 19 第3章动量定理及其守恒定律习题解答
l2?h2/h?gR/v2，两边平方并整理，可求得h：
h?v2l/v4?g2R2?69.42?1.435/69.44?9.82?90002?0.0782m?7.8cm
3.5.15汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？
解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33 设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：
Ncos??fsin??mgNcos??mg?fsin?①
Nsin??fcos??manNsin??man?fcos?②②/①得：tg?x α N y an mg f α α=15°
?(man?fcos?)/(mg?fsin?)
f?m(gtg??an)cos??sin?tg?
mgtg??fsin?tg??man?fcos?,?gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，
指向内侧。
3.5.16
?速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场E?E?j，又有与之垂直的匀强磁场
???。现有带电粒子以速度v?进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持沿x轴运动？此装置用B?Bk?vi于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。
解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F1=qE，方向向下；磁场力F2=qvB，方向向上 粒
子
若
沿
x
轴
匀
速
运
动
，
据
牛
顿
定
律
：
qE?qvB?0,?v?E/BENA?1T?1?1dimv?MT,dim??MT ?1?1BNAM?1x F2× × × =qvB × v + B y × × × × E F1=qE 3.5.17带电粒子束经狭缝S1,S2之选择，然后进入速度选择器（习题3.5.16），其中电场强度和磁感应强度各为E和B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场B0中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB0r/E，r和q分别表示轨道半径和粒子电荷。
解：由3.5.16题可知，通过速度选择器的粒子的速度是v=E/B，该粒子在B0磁场中受到洛仑兹力的作用做匀速圆周运动，其向心加速度为an=v2/r，由牛顿第二定律：
qvB0?mv2/r
m?qB0r/v?qrB0B/E
3.5.18某公司欲开设太空旅馆。其设计为用32m长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。 解：mg?m?
2B
●
● ●
● ●
●
v ●
●
s
●
B0
●
s1 s2
E
●
r
●
● ●
r,??g/r?9.8/16?0.78rad/s
3.5.20 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。 NAB
A
α
NA
NB' B
mAg NB NBA
α
L mBg
A
α AB=RA+RB=0.8 α C B CB=L-RA-RB=0.4
y o
x
大学物理力学答案3概要
