二次函数综合题
类型一 新定义问题
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(2019·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x＋
33bx＋c经过点A，B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N. ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
例1题图
备
用图
【分析】 (1)把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)①由M点坐标可表示点P，N的坐标，从而可表示出MA，MP，PN，PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出点M，P，N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，即可求得m的值． 【自主解答】
2
解：(1)∵y＝－x＋c过点A(3，0)，与y轴交于点B，
3∴0＝－2＋c，解得c＝2，
42
∴B(0，2)．∵抛物线y＝－x＋bx＋c经过点A，B，
3
???b＝，?－12＋3b＋c＝0，3 ?解得?
??c＝2，?
?c＝2，
4210
∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋2.
332
(2)①由(1)可知直线的解析式为y＝－x＋2，
3
2
∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.∴P(m，－m
3421024210242
＋2)，N(m，－m＋m＋2)，∴PM＝－m＋2，AM＝3－m，PN＝－m＋m＋2－(－m＋2)＝－m＋4m，
3333333∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM， ∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°. 当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN， ∴N点的纵坐标为2，
4210
∴－m＋m＋2＝2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5，
33∴M(2.5，0)；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
10
例1题解图
42104210则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝－m＋m＋2－2＝－m＋m，
3333∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB～Rt△BOA， ∴
NCCB
＝， OBOA
4210－m＋m33m11
∴＝，解得m＝0(舍去)或m＝. 23811
∴M(，0)；
8
11
综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；
8
24210
②由①可知M(m，0)，P(m，－m＋2)，N(m，－m＋m＋2)，
333∵M，P，N三点为“共谐点”，
242101
∴当P为线段MN的中点时，则有2(－m＋2)＝－m＋m＋2，解得m＝3(三点重合，舍去)或m＝；
333224210
当M为线段PN的中点时，则有－m＋2＋(－m＋m＋2)＝0，解得m＝3(舍去)或m＝－1；
333242101
当N为线段PM的中点时，则有－m＋2＝2(－m＋m＋2)，解得m＝3(舍去)或m＝－.
333411
综上可知，当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为或－1或－.
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1．(2019·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
第1题图
备用图
河南省2019年中考数学专题复习专题训练(含答案)
