?2x?4y?z?0l:A(1,2,1)45．求过点，且与直线?平行的直线方程． ?3x?y?2z?0【答案】
x?1y?2z?1?? 9710ijk【解析】所求直线的方向向量为s?2?41??9,7,10?，又直线过点A(1,2,1)，故所求直
3?1?2线方程为
x?1y?2z?1??． 971046．已知函数z?f(x,y)由方程x2?y2?z2?4z?0所确定，求全微分dz． 【答案】
xdx?ydy
2?zxdx?ydy．
2?z【解析】方程两边微分，得2xdx?2ydy?2zdz?4dz?0，整理得dz?
xe??47．计算二重积分
D2?y2dxdy，其中D是环形域1?x2?y2?4．
4【答案】?e?e
2?2??x【解析】??eD2?y2dxdy??0d??er?rdr?2??1212r22edr???e4?e?． ?12
yex48．求微分方程y'??的通解．
xx1x【答案】y??e?C?
x11x??lnx?exlnx?1?xdx?e?xdx【解析】y?e??edx?C??e??edx?C???x?x?x??e???edx?C??1xxx?C?．
49．求幂级数?(?1)n?1?n?1(x?1)n的收敛区间． n【答案】(0,2)
un?1(x?1)n?1n?lim??x?1，【解析】lim令x?1?1，得?1?x?1?1，即0?x?2，nn??un??n?1(x?1)n故收敛区间为(0,2)．
50．求级数?nxn?1?n?1的和函数． 1【答案】S?x???1?x?2，x???1,1?
?n?1【解析】易求得此级数的收敛域为??1,1?，设S?x???nx，x???1,1?，则
n?1?x0??xx??n?1?n?1S(t)dt????nt?dt???ntdt??xn?，x???1,1?，两边求导，得001?xn?1n?1?n?1?x11?x??Sx???S?x???2，x???1,1?． ??2，故原级数的和函数为1?x???1?x??1?x?
四、应用题（每小题7分，共14分）
51．计算由曲线x?0，y?ex，y?e所围成的平面图形的面积． 【答案】1
【解析】所求平面图形的面积S???e?ex?dx?1．
01
52．某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数
C(x)?40000?200x?0.002x3，收入函数R(x)?350x?0.004x3，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？ 【答案】37500
【解析】公司的利润L(x)?R(x)?C(x)?350x?0.004x2?40000?200x?0.002x2?150x?0.002x2?40000，L??150?0.004x，令L??0，得唯一驻点x?37500，且L???0，
由实际问题知最大值一定存在，故x?37500时，L取得最大值，即生产37500辆自行车时，公司利润最大．
五、证明题（6分）
53．已知方程x11?x7?x3?x?0有一正根x?1，证明方程11x10?7x6?3x2?1?0必有一个小于1的正根．
【证明】令f(x)?x11?x7?x3?x，则根据题意可知f(1)?0，因为f(x)在?0,1?上连续，在
?0,1?内可导，且f(0)?f(1)?0，故由罗尔定理可知：????0,1?，使得f?(?)?0，即
11?10?7?6?3?2?1?0，故方程11x10?7x6?3x2?1?0必有一个小于1的正根．
2015年河南专升本高数真题+答案解析
