中国教育学会中学数学教学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
（本卷满分120分，考试时间120 分钟）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．
1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）
A 111A． B． C． D．1
4232．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN
N 于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（ ） B C
M A．38 B．39 C．40 D. 41 （第2题图）
x3．已知xy?1，且有5x2?2011x?9?0，9y2?2011y?5?0，则的值等于（ ）
yA．
5920112011 B． C．? D．? 95594．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边 为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A．6 B. 7 C．8 D．9 5．设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数y?(a?)x2?cx?a?值?b，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e，d，c，取出数据的顺序是c，d， ，则不 e，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据）同顺序的取法的种数有（ ）
A．5种 B．6种 C．10种 D．12种
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（第4题图） b2b在x?1时取最小285b e d a c （1） （2）
（第5题图）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7．若x2?2x?1?4?0，则满足该方程的所有根之和为 .
8．（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为 ． 8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
2FG? ． AF2a4?3xa2?22??9．已知a?a?1?0，且3，则x? ．
3a?2xa2?a10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．
11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45o，∠A=60o，CD=4m，BC=(46?22)m，则电线杆AB的长为 m．
12．实数x与y，使得x?y，x?y，xy，
x四个数中的三个有相同的数值，则所有具y有这样性质的数对(x,y)为 ．
E A （第8题图A）
FD C CEA D B C (第11题图)
B GAD
（第8题图B）
B三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）
已知：(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式． 求证： a?b?c．
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14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有
最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成
三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的的坐标；若不存在，请说明理由．
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1？若存在，求出点T3yyCNBCBPOMAxO（备用图） Ax(第14题图)
15.（本题满分20分）
对于给定的抛物线y?x2?ax?b，使实数p，q适合于ap?2(b?q). （1）证明：抛物线y?x2?px?q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.
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2013年九年级试卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 2?6； 8. A：
116；B： ； 9. 4； 10. 12； 11. 62； 12.
2511(,?1)(?,?1).
22三、解答题：（每题20分，共60分）
13. 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得
原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.
即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,
?a?b?0?(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：?b?c?0
?c?a?0? 解这个方程组，得a?b?c. 14. 解：（1）（6，4）；（t,2t）.（其中写对B点得1分） ···· ????????????3分 312（2）∵S△OMP =×OM×t，
23212112∴S =×（6 -t）×t=?t+2t ＝?(t?3)?3（0 < t <6）．
3332∴当t?3时，S有最大值．????????????????8分
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：y?4x．
3 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y??bx?b，
33b?4?x?y?x解方程组?得??4?b ?3???y?4b?y??bx?b??4?b?3?∴直线ON与MT的交点R的坐标为(∵S△OCN ＝
3b4b,)． 4?b4?b11×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． ························ ???????10分 23一、当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，
二、如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，
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则S△OR1T1＝1?RD1?OT ＝1?3b?b＝2.
224?b2?2132∴3b?4b?16?0， b =.∴b1 ＝2?213，b2 ＝2?213（不合题意，舍去）
333此时点T1的坐标为（0，2?213）. ··········· ?????????????????15分
3② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E， ∵点E的纵坐标为4，∴由①得点E的横坐标为作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝
3b?12， byT2 113b?124b96＝2. ?EN?D2 =?(3?)?(4?)?22b4?bb(4?b)CT1 D1 ED2 NR1 R2 B2∴b?4b?48?0，b=?4?16?4?48??213?2.
2P∴b1＝213?2，b2＝?213?2（不合题意，舍去）． ∴此时点T2的坐标为（0，213?2）． 综上所述，在y轴上存在点T1（0，15. 证明：（1）∵ap?2(b?q)
OM（备用图）
Ax2?213），T2（0，213?2）符合条件．?20分 3apa?b代入抛物线y?x2?px?q中，得?y?x2?b?p(x?)?0
22a?x????y?x2?b?0??2?
得?解得：? ， a2
?x??0?y?a?4b
2??4?
aa2?4b2)????????10分 故抛物线y?x?px?q通过定点(?,24∴q?（2）∵2q?ap?2b，∴p2?4q?p2?2?2q?p2?2(ap?2b)
=p2?2ap?4b=p2?2ap?a2?a2?4b =(p?a)2?(a2?4b)
∴(p2?4q)?(a2?4b)?(p?a)2?0 ∴p2?4q与a2?4b中至少有一个非负.
∴x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.????20分
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2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案
