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??x?(?1?2x)x??1?x?0??x?(?6x?0.5)x??1?x?0 ??x?0.5x??x即 ???x?0.5x?x?0 特征根 s1,20.5?0.52?4?1.218 （鞍点）
???2??0.718概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：
（2） 由原方程
????x?f(x,x)??xx?x
令 ???x?x?0 得奇点 xe?0,在奇点处线性化
??x??f?x?x??x?x?0?f??x? ?x?x?x?0???(?x?1)x?x?x?xx?x?x???0?0得 ??x??x 即 ??x?x?0
特征根 s1,2??j。奇点xe?0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。
7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。 系统开始是静止的，输入信号r(t)?4?1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
解 由结构图，线性部分传递函数为
C(s)1?2 M(s)s得 ??c(t)?m(t) ①
可修改
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由非线性环节有
?0e?2?? m(t)??e(t)?2e?2???e(t)?2e??2????由综合点得
②
c(t)?r(t)?e(t)?4?e(t) ③ 将③、②代入①得
?0???e(t)??2?e(t)??2?e(t)?开关线方程为 e(t)??2
e?2e?2e??2III III????:e(t)?0e?c(常数)
????:e?e?2?0II令e????e?0 得奇点 e0?2
特征方程及特征根 s2?1?0, III：e???e?2?0
III令e????e?0 得奇点 e0??2
s1,2??j （中心点）
特征方程及特征根 s2?1?0,现周期振荡状态。
s1,2??j （中心点）
绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈
7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。
可修改
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解 由系统结构图有
C(s)51??E(s)s0.5s?1?2??:???:??0c?c?0III??0c ?c?0s(0.5s?1?2)C(s)?5E(s)
?????5e?3c?0.5c????5e?c?0.5c ①
因为 c?r?e?1?e ②
②代入①式有 ?????6e?10e?0?e????2e?10e?0?e?e?0?e?0III
特征方程与特征根
2??I:s?6s?10?0?2??II:s?2s?10?0s1,2??3?js1,2?1?j3(稳定的焦点)(不稳定的焦点)
依题意 c(0)?0,c?(0)?0 可得
e(0)?1?c(0)?1
??e(0)?c(0)?0以(1,0)为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。
7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。
可修改
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图7-38 具有理想继电器的非线性系统
试用相平面法分析：
（1）Td?0时系统的运动；
（2）Td?0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）Td?2时系统的运动特点。 解 依结构图，线性部分微分方程为
c???u 非线性部分方程为 u???1e?Tde??0?1e?T ??de??0??开关线方程： e???1Te d由综合口： c?r?e?1?e ③、②代入①并整理得
?e?????1e?Tde??0???1e?Tde??0?? 在 I 区： e???e?de?de??1 解出： e?2??2e(e?0) （抛物线）
同理在 II 区可得：
e?2?2e(e?0) （抛物线）
开关线方程分别为
Td?0时， e?0; Td?0.5时，e???2e;
Td?2 时，e???0.5e. 概略作出相平面图如图解7-7所示。
可修改 ①②③
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图习题集P178 T8-10
由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。
7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
解 非线性特性的数学表达式为
?e?y??M??M?|e|?ae?ae??a??? ??? 图7-39 非线性系统结构图 线性部分的微分方程式为
???Tc?c?Ky
考虑到r?c?e，上式又可以写成
????Te?e?Ky?T?r??r
?输入信号为阶跃函数，在t?0时有，?r??r?0，因此有
???Te?e?Ky?0
根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
Ⅰ区：系统的微分方程为
???Te?e?Ke?0(e?a)
按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图解7-8（a）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
Ⅱ区：系统的微分方程为
???Te?e?KM?0设一般情况下，初始条件为e(0)?e0,(e?a)
??e(0)?e0。则上式的解为
可修改
自动控制原理考试试题第七章习题及答案
