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第七章 非线性控制系统分析
练习题及答案
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
???x?x3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令x??0 得
?x?x3?x(x2?1)?x(x?1)(x?1)?0
系统平衡状态
xe?0,?1,?1
其中：xe?0 ：稳定的平衡状态；
xe??1,?1 ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
x -2 -1 ?13 0 13 1 2 x? -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 ?? 11 2 0 x 1 0 2 11 图解7-1 系统相轨迹
可见：当x(0)?1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)?1时，系统发散；x(0)??1时，x(t)???; x(0)?1时，x(t)??。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x?~x平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。 (1) ???x?x?x?0 (2) ???x1?x1?x2
?2?2x1?x2?x 解 （1） 系统方程为
可修改
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???x?x?x?0(x?0)??:?
??x?x?x?0(x?0)???:?令&&&x?x?0，得平衡点：xe?0。 系统特征方程及特征根：
?132?:s?s?1?0,s???j1,2 ?22????:s2?s?1?0,s??1.618,?0.6181,2??dx??????x?f(x,x)??x?x,x??x?xdx
x?dx?1?????1?,x?x??x?dxx1????I: ???II:??(稳定的焦点)(鞍点)
???1???11?(x?0)
??1(x?0)计算列表 ? -∞ -3 -1 -1/3 x?0: 0 1/3 -1 1 3 ∞ ???1?1? -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 x?0:???1?1? -1 -4/3 -1
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。
可修改
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图解7-2（a）系统相平面图
（2） x ① ?1?x1?x2 ② ?x2?2x1?x2由式①： x2?x ③ ?1?x1式③代入②： (????x1?x1)?2x1?(x1?x1) 即 ? ④ ??x1?2x1?x1?0令 ???x1?x1?0 得平衡点： xe?0 由式④得特征方程及特征根为 s2?2s?1?0画相轨迹，由④式
?1,2???2.414（鞍点）
??0.414?dx1???x1??2x1?x1 dxx1 x? ?1??2 ???x1?x1 计算列表
可修改
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? ?=1/(?-2) 2 ∞ 2.5 2 3 1 ∞ 0 1 -1 1.5 -2 2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
7-3 已知系统运动方程为 ??x?sinx?0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
解 求平衡点，令???x?x?0 得
sinx?0
平衡点 xe?k?(k?0,?1,?2,?)。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。 设 F(x)???x?sinx?0
?F?F???x????x?x??xe?x?0
xe ???x?cosxe??x?0 ??x??x?0????x??x?0???xe?k?xe?k?(k?0,?2,?4,?)(k??1,?3,?5,?)
特征方程及特征根： k为偶数时 s2?1?0 k为奇数时 s2?1?0 用等倾斜线法作相平面
?1,2??j （中心点） ?1,2??1 （鞍点）
?dx??sinx?x?x???sinx?0dx 1?x?sinx? ? -2 -1 0 1 2 -1/2 -1/4 -1/? 1/2 作出系统相平面图如图解7-3所示。
1/4 1/2 1 2 4 ∞ -4 -2 -1 -1/2 可修改
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7-4 若非线性系统的微分方程为 (1) ????x?(3x?0.5)x?x?x2?0 (2) ???x?xx?x?0
试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得
2 ???????x?f(x,x)??(3x?0.5)x?x?x2??3x?0.5x?x?x2
令 ? ??x1?x1?0 得 x?x2?x(x?1)?0 解出奇点 xe?0,在xe?0处：
?1
在奇点处线性化处理。
??x????f(x,x)?f(x,x)??x??xx?0x?0?xx??xx??0?0
????(?1?2x)x?x??x?(?6x?0.5)x?x??x??x?0.5x?0?0即 ???x?0.5x?x?0 特征方程及特征根
0.5?0.52?4 s1,2??0.25?j0.984 （不稳定的焦点）
2 在xe??1处
可修改
自动控制原理考试试题第七章习题及答案
