第一部分 高级宏观经济学的数学基础
高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。
动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。
第三讲 动态规划
前面两节介绍了用变分法和最优控制理论（即极大值原理）求解动态最优化问题（我们主要介绍的是连续时间问题）。同样，动态最优化问题也可以用动态规划方法来求解。动态规划是美国数学家贝尔曼1957年提出的，同最优控制论一样，动态规划也被说成现代变分法。
动态规划包括离散时间和连续时间两种情形，它在解决离散时间问题时较为方便，我们这里重点讲离散时间下的方法。此外，动态规划可以解决确定性条件下和不确定条件下的动态最优化问题，与变分法和最优控制相比，动态规划是求解不确定下动态最优化问题很方便的工具，但由于要涉及大量其他数学工具以及课程时间所限，我们这里只介绍解决确定性问题的方法。
一、动态规划原理与贝尔曼方程
（一）动态规划问题的特点
1
（二）贝尔曼方程
2
3
二、离散时间无限界期的动态规划
贝尔曼方程的形式
4
动态规划的解
三、经济学应用：新古典增长模型中的消费者最优化问题
模型设定
消费者储存资本并进行投资，即消费者的财富是以资本的形式表示的。在每一期里，消费者都会把资本租给厂商并向厂商出售自己的劳动。假设劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。消费者实际上就相当于在求解如下一个跨期最优化问题：
5
?ct,kt?1?t?0max??tU(ct)
?s.t. ct?kt?1?wt?(1?rt)kt
ktlim?0 tt???t?0(1?rt)
这里，k0给定，wt是工资率，rt是资本的租金率。
如果把消费者的这个最优化问题用贝尔曼方程的方法表示出来，为
v(kt)?max[u(ct)??v(kt?1)]
?ct,kt?1?s.t. ct?kt?1?wt?(1?rt)kt （1）
ktlim?0 tt??(1?r)?t?0t
把约束条件（1）代入目标函数中，有
v(kt)?max?u[wt?(1?rt)kt?kt?1]??v(kt?1)? （2）
kt?1
式（2）的一阶条件（对kt?1求偏导）是
?u?[wt?(1?rt)kt?kt?1]??v?(kt?1)?0 （3）
让式（2）两边对kt求偏导，并应用包络定理，可以得到
v?(kt)?u?[wt?(1?rt)kt?kt?1](1?rt) （4）
把式（4）往后挪一期，有
v?(kt?1)?u?[wt?1?(1?rt?1)kt?1?kt?2](1?rt?1) （5）
用式（5）代替式（3）中的v?(kt?1)，可以得到
?u?(ct)??u?(ct?1)(1?rt?1)?0
该方程就是实现消费者最优的欧拉方程。
6
宏观经济学 数学基础-3-动态规划 - 图文
