全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可
以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或
40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二
条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂
线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连
线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC， 在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF 在△BEG中，由三角形性质知 EG 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD， ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 二、截长补短 1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD △ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS） ∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC 2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE △ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC 3、如图，已知在△ABC内，?BAC?600，?C?400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP， BQ分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP 在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40° 从而∠BDP＝40°＝∠ACP △ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC 又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC BD＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC， 求证： ?A??C?1800 解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD △BDF≌△BDC（SAS） 故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC 又AD＝CD 故在等腰△BFD中 ∠DFB＝∠DAF 故有∠BAD+∠BCD＝180° 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD △ABP≌△AFP（SAS） 故BP＝PF 由三角形性质知 PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC 应用： 分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 A D 解：有BC?AD?AE 连接AC，过E作EF//BC并AC于F点 则可证?AEF为等边三角形 即AE?EF，?AEF??AFE?60? E ∴?CFE?120? B C 又∵AD//BC，?B?60? A D ∴?BAD?120? 又∵?DEC?60? ∴?AED??FEC E F 在?ADE与?FCE中 ?EAD??CFE，AE?EF，?AED??FEC B C ∴?ADE??FCE ∴AD?FC ∴BC?AD?AE 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA. 解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有 △FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE 在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. ∵BD=CE, ∴DM=EM, ∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA. 延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE。 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC 证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE均为角平分线, 则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度. 在AC上截取线段AF=AE,连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; ∠AOF=∠AOE=60度. 则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC DG垂直平分BC，故BD＝DC 由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有 ED＝DF 故RT△DBE≌RT△DFC（HL） 故有BE＝CF。 AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用： 1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三 角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的 平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 F B M B E E O P D F D A C 图① N A 图② 图③ C (第23题图) 解：（1）FE与FD之间的数量关系为FE?FD （2）答：（1）中的结论FE?FD仍然成立。 证法一：如图1，在AC上截取AG?AE，连结FG ∵?1??2，AF为公共边， ∴?AEF??AGF ∴?AFE??AFG，FE?FG B ∵?B?60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线 ∴?2??3?60? ∴?AFE??CFD??AFG?60? E ∴?CFG?60? F D ∵?3??4及FC为公共边 1 4 ∴?CFG??CFD 2 3 A ∴FG?FD G C 图 1 ∴FE?FD 证法二：如图2，过点F分别作FG?AB于点G，FH?BC于点H ∵?B?60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线 ∴可得?2??3?60?，F是?ABC的内心 B ∴?GEF?60???1，FH?FG G D 又∵?HDF??B??1 E F H ∴?GEF??HDF 1 4 ∴可证?EGF??DHF 2 3 A C ∴FE?FD 图 2 有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 12∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE = DF 证明：连结AD. ∵D为BC中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F， 使AE = AF， 求证：EF⊥BC 证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB， ∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略） ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE， 连结DE 求证：DE⊥BC 证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）
八年级数学上册几何添辅助线专题
