人教A版高中数学选修2-21.5定积分的概念 教学设计两课时（连堂）
1.5定积分的概念
临高中学数学组：李靓 两课时（连堂）
学习目标：1.会用无限细分和无穷积累的方法求不规则曲边形的面积.
2.会用无限细分和无穷积累的方法求变数直线运动的路
程.
3.记住并理解定积分的有关概念和简单的基本性质. 4.会应用定积分的定义求函数的定积分.
学习重点：微元法思想和定积分的基本性质 学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法 教学过程设计
一、新课引入
定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一节讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．
二、曲边梯形的面积
在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.
设函数y?f(x)在[a,b]上连续. 由曲线y?f(x)与直线x?a、
y x?b、x轴所围成的图形称为曲边梯形(图5－1). 为讨论方便，假定
f(x)?0.
?1 ?2 ?i y=f(x) ?n 1 / 10 O a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b x 图5－1
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I．分割
由于函数y?f(x)上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相
等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间[a,b]分成n个小区间，即插入分点.
a?x0?x1?x2?????xn?b
在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小区间的长度为?xi?xi?xi?1,i?1,2,???,n. 由于f(x)连续，故当
?xi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间[xi?1,xi]上任取一点?i，
则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(?i)，因此, 这个小曲边梯形的面积
?Si?f(?i)??xi.
用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和S???Si.
i?1nII.近似代替
由于f(x)连续，故当?xi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间[xi?1,xi]上任取一点?i，则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(?i)，因此, 这个小曲边梯形的面积
?Si?f(?i)??xi.
III.求和
得整个大曲边梯形面积的近似值
S???Si??f(?i)?xi.
i?1i?1nnIV.取极限
可以看出：对区间[a,b]所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A. 记
??max{?xi}，则当??0时，误差也趋于零. 因此，所求面积
1?i?n S?lim?f(?i)?xi. (1)
??0i?1n2 / 10
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（
设
f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0，求以曲线y?f(x)为曲
边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A。
1．化整为零
用任意一组分点 a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b
将区间分成 n个小区间[xi?1,xi]，其长度为
?xi?xi?xi?1(i?1,2,?,n)
并记 ??max{?x1,?x2,?,?xn}
相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为
?Ai,i?1,2,?,n于是 A???Ai
i?1n。
2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ?Ai?f(?i)?xi??i?[xi?1,xi](i?1,2,?,n) 3．积零为整，给出“整”的近似值 A??f(?i)?xi
i?1n4．取极限，使近似值向精确值转化
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A?lim?f(?i)?xi??f(x)dx
??0i?1anb上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：
（1）若将[a,b]分成部分区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n)，则A相应地分成部分量
?Ai(i?1,2,?,n)，而
A???Ai
i?1n这表明：所求量A对于区间[a,b]具有可加性。
(2)用f(?i)?xi近似?Ai，误差应是?xi的高阶无穷小。 只有这样，和式?f(?i)?xi的极限方才是精确值A。故关键是确定
i?1n ?Ai?f(?i)?xi(?Ai?f(?i)?xi?o(?xi))
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
）
三．变速直线运动的路程
设物体作直线运动，速度v(t)是时间t的连续函数，且v(t)?0. 求物体在时间间隔[a,b]内所经过的路程s.
由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式
路程＝速度?时间
来计算物体作变速运动的路程. 但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间[a,b]可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割：用分点a?t0?t1?t2?????tn?b将时间区间[a,b]分成n个小区间
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[ti?1,ti] (i?1,2,???n), 其中第i个时间段的长度为?ti?ti?ti?1，物体在此时间段
内经过的路程为?si.
(2) 局部近似：当?ti很小时，在[ti?1,ti]上任取一点?i，以v(?i)来替代[ti?1,ti]上各时刻的速度，则?si?v(?i)??ti.
(3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得
s???si??v(?i)?ti.
i?1i?1nn(4) 取极限：令??max{?ti}，则当??0时，上式右端的和式作为s近似值
1?i?n的误差会趋于0，因此
s?lim?v(?i)?ti.
??0i?1n(2)
以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．
四．定积分的定义
定义 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点
a?x0?x1?x2?????xn?b
将[a,b]分成n个小区间，用?xi?xi?xi?1表示第i个小区间的长度，在[xi?1,xi]上任取一点?i，作乘积f(?i)??xi，i?1,2,???,n. 再作和
?f(?)?xii?1ni.
若当??max{?xi}?0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，1?i?n并称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx. 即
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