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考点15 正余弦定理
一、考纲要求 内容 要求 A 正余弦定理及应用 B √ C 1. 理解正弦定理，能用正弦定理解三角形。 2. 理解余弦定理，能用余弦定理解三角形。
3. 能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。公式选择得当，方法运用对路是简化问题的必要手段。
4. 能综合运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，证明三角形中边角关系的恒等式;能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题。 二、近五年江苏高考 年份 知识点 2019年 正弦定理与余弦定理已经三角函数关系式 2018年 正弦定理的面积公式 2017年 正弦定理与余弦定理 2016年 正弦定理与两角和与差的余弦 2015年 正弦定理与余弦定理 从近几年高考命题的形式看，本节知识是高考必考内容。
1. 内容上重点为正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考题灵活多样。
2. 题型方面：填空题以考查用正弦、余弦定理解三角形为主，难度不大，解答题有时与其他知识综合命题，最为常见的是与向量相结合。 三、考点总结：
正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题。特别要注意利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制。 四、近五年江苏高考试题
1、(2019年江苏卷) .在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=2，cosB=（2）若
2，求c的值； 3sinAcosB??，求sin(B?)的值． a2b22
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【解析】（1）因为a?3c,b?2,cosB?2， 31a2?c2?b22(3c)2?c2?(2)22由余弦定理cosB?，得?，即c?.
32ac32?3c?c所以c?3. 3（2）因为
sinAcosB?， a2babcosBsinB??，得，所以cosB?2sinB. 2bbsinAsinB2由正弦定理
222从而cosB?(2sinB)，即cosB?41?cosB，故cosB??2?4. 5因为sinB?0，所以cosB?2sinB?0，从而cosB?25. 5因此sin?B???π?25. ?cosB??2?5【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
2、(2018年江苏卷) 在点D，且
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，
，由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得
当且仅当
时取等号，则
的最小值为.
，因此
，则
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于
的最小值为________．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
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3、(2017年江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1) 将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度； (2) 将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
解：(1) 由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC. 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处． 因为AC＝107，AM＝40， 所以MC＝402－107
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＝30，从而sin∠MAC＝. 4
记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，如图1，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，
P1Q1从而AP1＝＝16.
sin∠MAC
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm) (2) 如图，O，O1是正棱台的两底面中心． 图2
由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG. 同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．
过G作GK⊥E1G1，K为垂足，如图2，则GK＝OO1＝32. 因为EG＝14，E1G1＝62，
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62－14
所以KG1＝＝24，
2
222从而GG1＝KG21＋GK＝24＋32＝40.
设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，
π4
＋∠KGG1?＝cos∠KGG1＝. 则sinα＝sin??2?5π3
因为＜α＜π，所以cosα＝－. 25
4014在△ENG 中，由正弦定理可得＝，
sinαsinβ7
解得sinβ＝. 25
π24
因为0＜β＜，所以cosβ＝. 225
373424
－?×＝. 于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋?525?5?255记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH， P2Q2故P2Q2＝12，从而EP2＝＝20.
sin∠NEG答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm) 4π
4、(2016年江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝. 54(1) 求AB的长； π
A－?的值． (2) 求cos??6?4
解析： (1) 因为cosB＝，0 5AC·sinC 所以AB＝＝＝52. sinB3 5 (2) 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， πππ4342B＋?＝－cosBcos＋sinBsin，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cos?又cosB＝，sinB＝，故cosA＝－×?4?445552322 ＋×＝－. 5210 因为0 . 20 2 4?23ACAB1－?＝.由正弦定理知＝，?5?5sinBsinC 6×22 π72ππ23721A－?＝cosAcos＋sinAsin＝－×＋.因此，cos?×＝?6?1066102102 1 5、(2015年江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1) 求BC的长； (2) 求sin2C的值． 1 规范解答 (1) 由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7， 2所以BC＝7. ABBCAB2sin60°21 (2) 由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝. sinCsinABC77因为AB 题型一 正、余弦定理的简单运用 1、(2019苏州期初调查） 已知△ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC最大内角的余弦值等于________． 11 【答案】 － 24 111 【解析】因为高分别为2，3，4，由面积法可知，三边边长之比为∶∶＝6∶4∶3，不妨设三边长为 23442＋32－6211 6，4，3，所以最大内角的余弦值为＝－. 2×3×424 2、(2019通州、海门、启东期末） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，π B＝A－，则B＝________． 6 π 【答案】 6 ab 【解析】因为acosB＝3bcosA，所以，由正弦定理＝得sinAcosB＝3sinBcosA，故tanA＝3tanB， sinAsinB3 3tanB－ 3ππ3π 0，?，所以B＝. 又B＝A－，故tanB＝＝，解得tanB＝，因为B∈??2?63631＋3tanB 1＋tanA 3 tanA－ 3、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为23，则AB的长为________． 【答案】.27 【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB ＝2 sinA，由正弦定理得b＝2a，因为△ABC 3 3 212743×＝. 777 327 1－＝. 77 2
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)15 正余弦定理(解析版)
